Прикладная математика & Физика

Метод возмущений в задаче о распространении суперпозиции двух электромагнитных волн в плоском слое, заполненном нелинейной средой

2026-07-21T07:48:52+00:00

В работе предложен метод возмущений для доказательства существования, в том числе нелинеаризуе-мых решений, в задаче о распространении суперпозиции двух монохроматических электромагнитных волн. Волны распространяются в плоском слое, заполненном диэлектриком с керровской нелинейностью. Физическая задача сведена к нелинейной двухпараметрической задаче на собственные значения для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке с краевыми условиями третьего рода и двумя дополнительными локальными условиями. В качестве невозмущенной рассматривается пара нелинейных задач (для каждой из волн в суперпозиции), имеющих нелинеаризуемые решения. Предложенный метод возмущений может найти приложения в области нелинейной математической физики, в частности в теории нелинейных колебаний.

Низкочастотный спектр задачи Штурма – Лиувилля на геометрическом графе

2026-07-21T08:23:52+00:00

Данная работа посвящена исследованию зависимости спектра частот собственных колебаний струнной сетки от распределения массы между струнами и узлами. Сетка моделируется геометрическим графом, для которого формулируется задача Штурма – Лиувилля. Показано, что при стремлении шага сетки к нулю её динамические свой-ства приближаются к свойствам сплошной мембраны. Проведен анализ уравнения, описывающего низкочастотную часть спектра. Доказана монотонная зависимость собственных значений от линейной плотности струн. Установлено, что спектр сетки всегда заключён между спектром разностного оператора Лапласа и спектром мембраны. На основе полученных результатов дано обоснование выбора струнной сетки в качестве эффективной редукционной модели задачи о колебаниях мембраны, что, в свою очередь, приводит к уменьшению вычислительной сложности данной задачи.

Усреднение уравнения Лаврентьева – Бицадзе в области, периодически перфорированной вдоль линии смены типа уравнения

2026-07-22T08:05:36+00:00

Рассмотрена задача для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в модельной области, перфорированной вдоль линии смены типа уравнения и имеющей характерный размер микронеоднородностей ε, с однородным краевым условием Дирихле на границе полостей и однородным условием Дирихле на внешней части границы. Для этой задачи построена усреднённая задача и доказана сходимость решений исходной задачи к решению усреднённой. При этом обнаружено, что предельная (усреднённая) задача вырождается в «гиперболической» части области.

Об усреднении аттракторов двумерной системы Навье – Стокса в периодическом слое с мелкими препятствиями

2026-07-22T13:39:52+00:00

В работе рассмотрена периодическая задача для двумерной системы Навье – Стокса в слое с мелкими препятствиями около дна. Предполагая, что на границе препятствий выставлено условие прилипания, а на дне условие непротекания, а также третье краевое условие на горизонтальную компоненту, мы исследуем асимптотическое поведение траекторных аттракторов. В этих предположениях доказана слабая сходимость траекторных аттракторов этой системы к траекторным аттракторам усредненной системы Навье – Стокса с условием прилипания на всей границе.

Теоретические основы задачи нахождения пространственных координат подвижного объекта

2026-07-22T14:35:55+00:00

В работе рассматривается задача определения пространственных координат подвижного объекта по азимутально-угломестным измерениям в его системе координат относительно трех наземных реперных точек. Использован подход, разбивающий задачу на два этапа: на первом — находится расстояние от реперных точек до подвижного объекта, а на втором — осуществляется трилатерация. Поведение математической модели задачи описы-вается расположением кривых пересечения тороидальных поверхностей. Сформулированы и доказаны достаточные условия существования и единственности решения задачи. Разработанный метод не требует измерения дальности и глобальной временной синхронизации, что делает его перспективным для применения в условиях деградации или отсутствия спутниковых навигационных сигналов. Результаты подтверждены численным моделированием и могут быть использованы в задачах навигации и 3D-реконструкции.

Краевая задача для уравнения Лапласа на плоскости с особенностью в младшем коэффициенте

2026-07-23T07:49:41+00:00

В работе в ограниченной области на плоскости рассматривается одно эллиптическое уравнение второго порядка с полярной особенностью в младшем коэффициенте, главным оператором которого является оператор Лапласа. Изучены вопросы построения явного интегрального представления общего решения. Отдельно рассмотрен случай с полярной особенностью первого порядка с использованием видоизмененного интеграла Помпейю – Векуа. Полученное интегральное представление применяется в нахождении единственного решения задачи типа Дирихле. Полученное явное решение рассматриваемого уравнения также дает возможность непосредственно ставить и исследовать задачи типа линейного сопряжения и Римана – Гильберта.

Об одном нелинейном уравнении Коши – Римана с особенностью в младшем коэффициенте

2026-07-23T08:11:26+00:00

В настоящей работе рассматривается один класс нелинейных уравнений с оператором Коши – Римана. Такое уравнение подстановкой сводится к линейному уравнению; сформулированы условия, при которых указанная подстановка обеспечивает взаимно-однозначное отображение. Коэффициент уравнения при неизвестной функции имеет изолированную сильную степенную особенность в нуле, после устранения которой он достаточное число раз непрерывно дифференцируем в окрестности нуля. Применяя разложение коэффициента по формуле Тейлора и прямое интегрирование полиномиальной части, с помощью оператора Помпейю – Векуа построено интегральное представление решений этого уравнения.

Модель случайного блуждания с сильной памятью

2026-07-23T08:41:38+00:00

В статье рассматривается случайное блуждание, в котором стандартный диффузионный механизм кон-курирует со случайным возвратом к предыдущим значениям. Предложен полуаналитический подход к отысканию характеристических функций введенного процесса. Для случая равномерного распределения сдвигов во времени получены точные выражения для моментов первых двух порядков, а также установлено предельное распределение процесса. Для усеченного геометрического распределения найдены асимптотические оценки моментов. Для еще двух рассмотренных распределений, где получение даже таких асимптотических оценок затруднено, приведены результаты вычислительного эксперимента. На примере биномиального распределения показано, что медленно убывающие распределения сдвигов не обязательно приводят к формированию степенной асимптотики дисперсии, которая характерна для аномальной диффузии.

Визуализация в жидкокристаллической ячейке распределения заряда, имплантированного в SiO2/Si фокусированным ионным пучком

2026-07-23T09:49:13+00:00

Экспериментально показано, что в жидкокристаллической ячейке, в которой одна из подложек является структурой SiO₂/Si с имплантированным зарядом в пленке SiO₂ с помощью фокусированного пучка ионов Ga+ в сканирующем электронно-ионном микроскопе, возможна визуализация распределения этого заряда при использовании эффекта Фредерикса. Визуализация облученных участков SiO₂ без дополнительной обработки поверхности, становится возможной благодаря различию в двулучепреломлении жидкого кристалла (ЖК) над участками c разной дозой облучения. Установлено, что облучение SiO₂ дозой 1011 ион/см2 вызывает формирование наклонной ориентации молекул ЖК 5СВ на поверхности SiO₂. Визуализация облученных участков поверхности SiO₂ в ячейке с планарной ориентацией ЖК основывается на различии двулучепреломления ЖК над участками с разной дозой облучения, которое возникает вследствие перераспределения приложенного к ячейке напряжения между ЖК и структурой SiO₂/Si, из-за образования обедненного приповерхностного слоя в кремнии. На формирование обеднённого слоя влияют электрическое поле имплантированного заряда в SiO₂, и, как предполагается, токи утечек в Si через дефекты плёнки SiO₂. Оценка минимальной дозы облучения SiO₂, регистрируемой в планарной ЖК-ячейке, даёт величину ∼ 2 ∗ 106 ион/см2.

Особенности термофоретического движения крупной испаряющейся капли в бинарной газовой смеси при малых относительных перепадах температуры

2026-07-23T11:32:27+00:00

В квазистационарном приближении при малых числах Стокса, тепловом и диффузионном числах Пекле рассматривается влияние тепло- и массопереноса на термофорез крупной испаряющейся сферической капли в бинарной газовой смеси. Линеаризованная по скорости система уравнений Навье – Стокса, описывающая поля скорости и давления вне и внутри испаряющейся капли, конвективное уравнение теплопереноса и уравнение диффузии решались методом теории возмущения. В качестве малого параметра использовался относительный перепад температуры на размере частицы. Получены аналитические выражения для силы и скорости термофореза при малых относительных перепадах температуры в ее окрестности и проведены качественные оценки влияния тепло- и массообмена на скорость термофореза крупных испаряющихся капель.