Прикладная математика & Физика

Периодические в среднем решения мультипликативно возмущенной гауссовым случайным шумом системы дифференциальных уравнений

2024-11-04T04:04:54+00:00

Рассмотрена задача Коши для линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений первого порядка со случайным гауссовым возмущением и случайной неоднородностью. Построена вспомогательная детерминированная линейная система дифференциальных уравнений, содержащая обычную и вариационную производные, с детерминированным начальным условием. Решение детерминированной задачи Коши позволяет получить формулу математического ожидания решения исходной задачи Коши. Найдены условия существования периодических в среднем решений системы и явная формула для периодического математического ожидания. Кроме того, получены условия периодичности второй моментной функции решения и явная формула для периодической второй моментной функции.

Степенные асимптотики решений двусторонней задачи Коши для вырождающихся дифференциальных уравнений второго порядка

2025-04-29T14:35:42+00:00

Для обыкновенных линейных вырождающихся дифференциальных уравнений второго порядка получены представления решения двусторонней задачи Коши с условиями в точке вырождения. Приведён алгоритм построения степенных асимптотик решений. Рассмотрены примеры.

Критерий однозначной разрешимости спектральной смешанной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева – Бицадзе

2024-04-08T16:47:35+00:00

Многомерные гиперболо-эллиптические уравнения описывают важные физические, астрономические и геометрические процессы. Известно, что колебания упругих мембран в пространстве по принципу Гамильтона можно моделировать многомерным волновым уравнением. Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем многомерное уравнение Лапласа. Так, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве многомерного уравнения Лавреньтева – Бицадзе. Теория краевых задач для гиперболо-эллиптических уравнений на плоскости хорошо изучена, а их многомерные аналоги интенсивно исследуются. Двумерные спектральные задачи для уравнений гиперболо-эллиптического типа достаточно хорошо изучены, однако их многомерные аналоги исследованы мало. В данной работе рассматривается спектральная смешанная задача для многомерного уравнения Лаврентьева – Бицадзе и устанавливается ее критерий однозначной разрешимости. Найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции этой задачи.