Решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения Ермакова степенными рядами

Аннотация

Нелинейные дифференциальные уравнения достаточно широко используются в различных современных науках. В частности, нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение Ермакова успешно применяется для решения задач в квантовой механике, электродинамике, в оптике, в теории упругости, для описания молекулярных структур, в гетероструктурах со сложной потенциальной функцией и во многих других разделах теоретической и математической физике. Однако эффективного метода решения нелинейных уравнений типа уравнения Ермакова в настоящее время нет. К примеру, при решении задач на собственные значения современные авторы уравнение Ермакова вычисляли прямыми численными методами. Как известно из работ самого Ермакова и других известных авторов, решение уравнения Ермакова определяется двумя линейно независимыми решениями подходящего так называемого присоединенного линейного дифференциального уравнения второго порядка. Теория интегрирования линейных дифференциальных уравнений степенными рядами математически строго разработана, в частности, для присоединенных линейных уравнений к уравнению Ермакова доказана сходимость степенных рядов, представляющих решение присоединенных линейных дифференциальных уравнений. В настоящей работе эти линейно независимые решения присоединенного линейного уравнения были вычислены в виде степенных рядов с применением компьютерной системы аналитических вычислений MAPLE, и для ряда уравнений Ермакова построены их решения в виде степенных рядов, в общем, с произвольным максимальным показателем степени. Непосредственной подстановкой было показано, что так полученные степенные ряды удовлетворяют уравнению Ермакова. Полученные решения в виде степенных рядов, содержащих также и спектральный параметр, могут быть успешно применены к решению задач на собственные значения, в частности для решения стационарного уравнения Шредингера.