Метод возмущений в задаче о распространении суперпозиции двух электромагнитных волн в плоском слое, заполненном нелинейной средой: Исследование поддержано РНФ, проект № 25-71-10036.

Дмитрий Викторович Валовик

doi:10.52575/2687-0959-2026-58-2-113-129

Авторы

Дмитрий Викторович Валовик Пензенский государственный университет

DOI:

https://doi.org/10.52575/2687-0959-2026-58-2-113-129

Ключевые слова:

уравнения Максвелла, многопараметрическая задача на собственные значения, нелинеаризуемое решение, связанная нелинейная распространяющаяся волна, метод возмущения, плоский волновод, нелинейная диэлектрическая проницаемость

Аннотация

В работе предложен метод возмущений для доказательства существования, в том числе нелинеаризуе-мых решений, в задаче о распространении суперпозиции двух монохроматических электромагнитных волн. Волны распространяются в плоском слое, заполненном диэлектриком с керровской нелинейностью. Физическая задача сведена к нелинейной двухпараметрической задаче на собственные значения для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на отрезке с краевыми условиями третьего рода и двумя дополнительными локальными условиями. В качестве невозмущенной рассматривается пара нелинейных задач (для каждой из волн в суперпозиции), имеющих нелинеаризуемые решения. Предложенный метод возмущений может найти приложения в области нелинейной математической физики, в частности в теории нелинейных колебаний.

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Биография автора

Дмитрий Викторович Валовик, Пензенский государственный университет

Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, г. Пенза, Россия
E-mail: dvalovik@mail.ru
ORCID: 0000-0001-5406-4788

Библиографические ссылки

Список литературы

Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь; 1988.

Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.-Л.: ГИТТЛ; 1956.

Martynova V.Yu., Valovik D.V. Nonclassical perturbation approach to a nonlinear multiparameter eigenvalue problem arising in electromagnetics. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2023;46:804–833, https: //doi. org/https: //doi. org/10. 1002/mma. 9244.

Valovik D.V. Asymptotic analysis of a nonlinear eigenvalue problem arising in electromagnetics. Nonlinearity. 2020;33:3470–3499.

Валовик Д.В. Распространение электромагнитных волн в открытом плоском диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой i: ТЕ-волны. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2019;59:838–858.

Валовик Д.В. Распространение электромагнитных волн в открытом плоском диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой i: ТМ-волны. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020;60:429–450.

Smirnov Yu.G., Valovik D.V. Guided electromagnetic waves propagating in a plane dielectric waveguide with nonlinear permittivity. Physical Review A. 2015;91:013840(6 pages).

Smirnov Yu.G., Valovik D.V. Problem of nonlinear coupled electromagnetic te-te wave propagation. Journal of mathematical physics. 2013;54:083502(13).

Valovik D.V. Nonlinear multi-frequency electromagnetic wave propagation phenomena. Journal of Optics. 2017;19:115502(16 pages).

Valovik D.V. On the problem of nonlinear coupled electromagnetic te-tm wave propagation. Journal of mathematical physics. 2013;54:042902(14).

Tikhov S.V., Valovik D.V. Perturbation of nonlinear operators in the theory of nonlinear multifrequency electromagnetic wave propagation. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019;75:76–93.

Kurseeva V.Yu., Tikhov S.V., Valovik D.V. Nonlinear multiparameter eigenvalue problems: Linearised and nonlinearised solutions. Journal of Differential Equations. 2019;267:2357–2384.

Atkinson E.V., Mingarelli A.B. Multiparameter Eigenvalue Problems. Sturm-Liouville Theory. USA: CRC Press; 2011.

Volkmer H. Multiparameter Eigenvalue Problems and Expansion Theorems. Berlin: Springer-Verlag; 1988.

Pons A., Gutschmidt S. Nonlinear multiparameter eigenvalue problems in aeroelasticity. International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2019;19(5):1941008(22 pages), https: //doi. org/10. 1142/S0219455419410086.

Amer M.A. Constructive solutions for nonlinear multiparameter eigenvalue problems. Computers & Mathematics with Applications. 1988;35:83–90.

Binding P.A. On the use of degree theory for nonlinear multiparameter eigenvalue problems. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1980;73:381–391.

Browne P.J., Sleeman B. D. Nonlinear multiparameter Sturm-Liouville problems. Journal of Differential Equations. 1979;34:139–146.

Shibata T. Variational methods for nonlinear multiparameter elliptic eigenvalue problems. Nonlinearity. 1997;10:1319–1329.

Gravenkamp H., Plestenjak B., Kiefer D. A., Jarlebring E. Computation of leaky waves in layered structures coupled tounbounded media by exploiting multiparameter eigenvalueproblems. Journal of Sound and Vibration. 2025;596:118716(22 pages).

Ambrosetti A., Rabinowitz P.H. Dual variational methods in critical point theory and applications. Journal of Functional Analysis. 1973;14:349–381.

Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: ГИТТЛ; 1956.

Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: ГИТТЛ; 1956.

Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука; 1969.

Adams M.J., An Introduction to Optical Waveguides. New York: John Wiley & Sons; 1981.

Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир; 1980.

Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма – Лиувилля. Киев: Наукова Думка; 1972.

Schürmann H.W., Smirnov Yu.G., Shestopalov Yu. V. Propagation of te-waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides. Phys. Rev. E. 2005;71:016614(10).

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ГИФМЛ; 1962.

Маныкин Е.А. Взаимодействие света с веществом: феноменология нелинейной оптики. М.: МИФИ; 1996.

Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика непрерывных сред. М.: Наука; 1982.

Ахмедиев Н.Н., Анкевич А. Солитоны, нелинейные импульсы и пучки. М.: Наука; 2003.

Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука; 1989.

Валовик Д.В., Смирнов Ю.Г. К задаче о распространении нелинейных связанных электромагнитных ТЕ-ТМ волн в слое. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014;54:522–536.

Eleonskii P.N., Oganes’yants L.G., Silin V.P. Cylindrical nonlinear waveguides. Soviet Physics JETP. 1972;35:44–47.

Boardman A.D., Egan P., Lederer F., Langbein U., Mihalache D. Third-Order Nonlinear Electromagnetic TE and TM Guided Waves. New York: Elsevier sci. Publ.; 1991. Reprinted from Nonlinear Surface Electromagnetic Phenomena, Eds. H.-E. Ponath and G. I. Stegeman.

Eleonskii P.N. Silin V.P. Theory of self-trapping of an electromagnetic field. Soviet Physics JETP. 1970;31:918–923.

Akhmanov S.A., Sukhorukov A.P., Khokhlov R.V. Self-focusing and self-trapping of intense light beams in a nonlinear medium. Soviet Physics JETP. 1966;23:1025–1033.

Валовик Д.В. Метод возмущений в теории распространения двухчастотных электромагнитных волн в нелинейном волноводе I: TE-TE волны. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2021;61(1):103–117.

Eleonskii P.N., Oganes’yants L.G., Silin V.P. Structure of three-component vector fields in self-focusing waveguides. Soviet Physics JETP. 1973;36:282–285.

Boardman A.D., Twardowski T. Theory of nonlinear interaction between te and tm waves. Journal of the Optical Society of America B. 1988;5:523–528.

Boardman A.D., Twardowski T. Transverse-electric and transverse-magnetic waves in nonlinear isotropic waveguides. Physical Review A. 1989;39:2481–2492.

Ping Xie, Zhao-Qing Zhang Multifrequency gap solitons in nonlinear photonic crystals. Physical Review Letters. 2003;91:213904(4 pages).

Besse V., Boudebs G., Leblond H. Determination of the third- and fifth-order optical nonlinearities: the general case. Applied Physics B. 2014;116:911–917.

Ciattoni A., Rizza C., Palange E. Extreme nonlinear electrodynamics in metamaterials with very small linear dielectric permittivity. Physical Review A. 2010;81:043839(12 pages).

Boardman A.D., Alberucci A., Assanto G., Grimalsky V.V., Kibler B., McNiff J., Nefedov I.S., Rapoport Yu.G., Valagiannopoulos C.A. Waves in hyperbolic and double negative metamaterials including rogues and solitons. Nanotechnology. 2017;28(44):444001.

Borghi M., Castellan C., Signorini S., Trenti A., Pavesi L. Nonlinear silicon photonics. Journal of Optics. 2017;19:093002.

Naseri M., Keshavarz A., Honarasa G. Imaging properties of a nonlinear multilayered superlens. International Journal of Modern Physics B. 2017;31:1750152(9 pages).

Eleonskii P.N., Oganes’yants L. G., Silin V. P. Vector structure of electromagnetic field in self-focused waveguides. Sov. Phys. Usp. 1972;15:524–525.

References

Vainstein LA. Electromagnetic Waves. Moscow: Radio i Svyaz; 1988. (In Russ.)

Malkin IG. Some problems in the theory of nonlinear oscillations USA: U.S. Atomic Energy Commission, Technical Information Service; 1956.

Martynova VYu, Valovik DV. Nonclassical perturbation approach to a nonlinear multiparameter eigenvalue problem arising in electromagnetics. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2023;46:804–833.

Valovik DV. Asymptotic analysis of a nonlinear eigenvalue problem arising in electromagnetics. Nonlinearity. 2020;33:3470–3499.

Valovik DV. Propagation of electromagnetic waves in an open planar dielectric waveguide filled with an nonlinear medium I: TE waves. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2019;59(6):958–977.

Valovik DV. Propagation of Electromagnetic Waves in an Open Planar Dielectric Waveguide Filled with a Nonlinear Medium II: TM Waves. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2020;60(3):427–447.

Smirnov YuG, Valovik DV. Guided electromagnetic waves propagating in a plane dielectric waveguide with nonlinear permittivity. Physical Review A. 2015;91:013840(6 pages).

Smirnov YuG, Valovik DV. Problem of nonlinear coupled electromagnetic te-te wave propagation. Journal of mathematical physics. 2013;54:083502(13).

Valovik DV. Nonlinear multi-frequency electromagnetic wave propagation phenomena. Journal of Optics. 2017;19:115502(16 pages).

Valovik DV. On the problem of nonlinear coupled electromagnetic te-tm wave propagation. Journal of mathematical physics. 2013;54:042902(14).

Tikhov SV, Valovik DV. Perturbation of nonlinear operators in the theory of nonlinear multifrequency electromagnetic wave propagation. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019;75:76–93.

Kurseeva VYu, Tikhov SV, Valovik DV. Nonlinear multiparameter eigenvalue problems: Linearised and nonlinearised solutions. Journal of Differential Equations. 2019;267:2357–2384.

Atkinson EV, Mingarelli AB. Multiparameter Eigenvalue Problems. Sturm-Liouville Theory. USA: CRC Press; 2011.

Volkmer H. Multiparameter Eigenvalue Problems and Expansion Theorems. Berlin: Springer-Verlag; 1988.

Pons A, Gutschmidt S. Nonlinear multiparameter eigenvalue problems in aeroelasticity. International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2019;19(5):1941008(22 pages),

Amer MA. Constructive solutions for nonlinear multiparameter eigenvalue problems. Computers & Mathematics with Applications. 1988;35:83–90.

Binding PA. On the use of degree theory for nonlinear multiparameter eigenvalue problems. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1980;73:381–391.

Browne PJ, Sleeman BD. Nonlinear multiparameter Sturm-Liouville problems. Journal of Differential Equations. 1979;34:139–146.

Shibata T. Variational methods for nonlinear multiparameter elliptic eigenvalue problems. Nonlinearity. 1997;10:1319–1329.

Gravenkamp H, Plestenjak B, Kiefer DA, Jarlebring E. Computation of leaky waves in layered structures coupled tounbounded media by exploiting multiparameter eigenvalueproblems. Journal of Sound and Vibration. 2025;596:118716(22 pages).

Ambrosetti A, Rabinowitz PH. Dual variational methods in critical point theory and applications. Journal of Functional Analysis. 1973;14:349–381.

Vainberg MM. Variational methods for the study of nonlinear operators. USA: Holden-Day; 1964.

Krasnosel’skii MA. Topological Methods in the Theory of Nonlinear Integral Equations. Oxford: Pergamon Press; 1964/

Vainberg MM, Trenogin VA. Theory of Branching of Solutions of Nonlinear Equations. Netherlands: Wolters-Noordhoff B.V.; 1974.

Adams MJ. An Introduction to Optical Waveguides. New York: John Wiley & Sons; 1981.

Unger H-G. Planar Optical Waveguides and Fibres. Oxford: Clarendon Press; 1977.

Marchenko VA. Spectral Theory of Sturm-Liouville Operators. Kiev: Nauk. Dumka; 1972. (In Russ.)

Schürmann HW, Smirnov YuG, Shestopalov YuV. Propagation of te-waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides. Phys. Rev. E. 2005;71:016614(10).

Pontryagin L.S. Ordinary Differential Equations. Oxford: Pergamon Press; 1962.

Manykin EA. Interaction of Light with Matter: Phenomenology of Nonlinear Optics. Moscow: National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute); 1996. (In Russ.)

Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Course of Theoretical Physics (vol.8). Electrodynamics of Continuous Media. Oxford: Butterworth-Heinemann; 1993

Akhmediev NN, Ankevich A. Solitons, Nonlinear Pulses and Beams. London: Chapman and Hall; 1997.

Shen YR. The Principles of Nonlinear Optics. New York: John Wiley and Sons; 1984.

Valovik DV, Smirnov YuG. On the Problem of Propagation of Nonlinear Coupled TE-TM Wave in a Layer. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2014;54(3):522–536.

Eleonskii PN, Oganes’yants LG, Silin VP. Cylindrical nonlinear waveguides. Soviet Physics JETP. 1972;35:44–47.

Boardman AD, Egan P, Lederer F, Langbein U, Mihalache D. Third-Order Nonlinear Electromagnetic TE and TM Guided Waves. New York: Elsevier sci. Publ.; 1991. Reprinted from Nonlinear Surface Electromagnetic Phenomena, Eds. Ponath H-E and Stegeman GI.

Eleonskii PN, Silin VP. Theory of self-trapping of an electromagnetic field. Soviet Physics JETP. 1970;31:918–923.

Akhmanov SA, Sukhorukov AP, Khokhlov RV. Self-focusing and self-trapping of intense light beams in a nonlinear medium. Soviet Physics JETP. 1966;23:1025–1033.

Valovik DV. Perturbation Method in the Theory of Propagation of Two-Frequency Electromagnetic Waves in a Nonlinear Waveguide I: TE-TE Waves. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2021;61(1):103–117.

Eleonskii PN, Oganes’yants LG, Silin VP. Structure of three-component vector fields in self-focusing waveguides. Soviet Physics JETP. 1973;36:282–285.

Boardman AD, Twardowski T. Theory of nonlinear interaction between te and tm waves. Journal of the Optical Society of America B. 1988;5:523–528.

Boardman AD, Twardowski T. Transverse-electric and transverse-magnetic waves in nonlinear isotropic waveguides. Physical Review A. 1989;39:2481–2492.

Ping Xie, Zhao-Qing Zhang Multifrequency gap solitons in nonlinear photonic crystals. Physical Review Letters. 2003;91:213904(4 pages).

Besse V, Boudebs G, Leblond H. Determination of the third- and fifth-order optical nonlinearities: the general case. Applied Physics B. 2014;116:911–917.

Ciattoni A, Rizza C, Palange E. Extreme nonlinear electrodynamics in metamaterials with very small linear dielectric permittivity. Physical Review A. 2010;81:043839(12 pages).

Boardman AD, Alberucci A, Assanto G, Grimalsky VV, Kibler B, McNiff J, Nefedov IS, Rapoport Yu.G, Valagiannopoulos CA. Waves in hyperbolic and double negative metamaterials including rogues and solitons. Nanotechnology. 2017;28(44):444001.

Borghi M, Castellan C, Signorini S, Trenti A, Pavesi L. Nonlinear silicon photonics. Journal of Optics. 2017;19:093002.

Naseri M, Keshavarz A, Honarasa G. Imaging properties of a nonlinear multilayered superlens. International Journal of Modern Physics B. 2017;31:1750152(9 pages).

Eleonskii PN, Oganes’yants LG, Silin VP. Vector structure of electromagnetic field in self-focused waveguides. Sov. Phys. Usp. 1972;15:524–525.