Низкочастотный спектр задачи Штурма – Лиувилля на геометрическом графе

Андрей Александрович Поздняков

doi:10.52575/2687-0959-2026-58-2-130-136

Авторы

Андрей Александрович Поздняков Воронежский государственный университет

DOI:

https://doi.org/10.52575/2687-0959-2026-58-2-130-136

Ключевые слова:

геометрический граф, задача Штурма – Лиувилля, лапласиан, модель пониженного порядка

Аннотация

Данная работа посвящена исследованию зависимости спектра частот собственных колебаний струнной сетки от распределения массы между струнами и узлами. Сетка моделируется геометрическим графом, для которого формулируется задача Штурма – Лиувилля. Показано, что при стремлении шага сетки к нулю её динамические свой-ства приближаются к свойствам сплошной мембраны. Проведен анализ уравнения, описывающего низкочастотную часть спектра. Доказана монотонная зависимость собственных значений от линейной плотности струн. Установлено, что спектр сетки всегда заключён между спектром разностного оператора Лапласа и спектром мембраны. На основе полученных результатов дано обоснование выбора струнной сетки в качестве эффективной редукционной модели задачи о колебаниях мембраны, что, в свою очередь, приводит к уменьшению вычислительной сложности данной задачи.

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Биография автора

Андрей Александрович Поздняков, Воронежский государственный университет

Бакалавр 4 года обучения направления подготовки «Прикладная математика»,
г. Воронеж, Россия
E-mail: AndAlexPozdnyakov@yandex.ru
ORCID: 0009-0005-0590-3078

Библиографические ссылки

Список литературы

Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит; 2005. 272 с.

Пенкин О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах: автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. М.; 1988. 28 с.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. Пер. с нем. Ю. Рабиновича и Э. Либина. М.; Л.: Гостехиздат; 1951. 476 с.

Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука; 1971. 552 с.

Шильдерс В., Ван дер Ворст Х., Роммес Я. Model Order Reduction: Theory, Research Aspects and Applications. Heidelberg: Springer; 2008. 471 с.

Калдыбекова Б.К., Решетова Г.В. A numerical solution of the membrane eigenproblem by the model order reduction. Сибирские электронные математические известия [Siberian Electronic Mathematical Reports]. 2017;14:1088–1099.

Бахвалов Н.С. Численные методы. Т. 1: Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука; 1973. 631 с.

Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука; 1973. 400 с.

Калдыбекова Б.К., Пенкин О.М. Низкая частота собственных колебаний специальной сетки из струн. Вестник КазНПУ имени Абая. Серия «Физико-математические науки». 2017;1(57):28–33.

Кулешов П.А., Диаб А.Т., Пенкин О.М. Оценка первого собственного значения лапласиана на графе. Матема-тические заметки [Mathematical Notes]. 2014;96(6):885–895.

Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир; 1972. 418 с.

References

Pokornyi YuV, Penkin OM, Pryadiev VL, Borovskikh AV, Lazarev KP, Shabrov SA. Differentsial’nye uravneniya na geometricheskikh grafakh [Differential equations on geometric graphs]. Moscow: Fizmatlit; 2005. 272 p. (In Russ.)

Penkin OM. Nekotorye voprosy kachestvennoi teorii kraevykh zadach na grafakh [Some questions of the qualitative theory of boundary value problems on graphs]: avtoref. dis. kand. fiz.-mat. nauk. Moscow; 1988. 28 p. (In Russ.)

Courant R, Hilbert D. Metody matematicheskoi fiziki [Methods of Mathematical Physics]. Vol. 1. Transl. from German by Yu Rabinovich and E Libin. Moscow; Leningrad: Gostekhizdat; 1951. 476 p. (In Russ.)

Samarskii AA. Vvedenie v teoriyu raznostnykh skhem [Introduction to the Theory of Difference Schemes]. Moscow: Nauka; 1971. 552 p. (In Russ.)

Schilders WHA, van der Vorst HA, Rommes J. Model Order Reduction: Theory, Research Aspects and Applications. Heidelberg: Springer; 2008. 471 p.

Kaldybekova BK, Reshetova GV. A numerical solution of the membrane eigenproblem by the model order reduction.

Sibirskie elektronnye matematicheskie izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports]. 2017;14:1088–1099. (In Russ.)

Bakhvalov NS. Chislennye metody. T. 1: Analiz, algebra, obyknovennye differentsial’nye uravneniya [Numerical Methods. Vol. 1: Analysis, Algebra, Ordinary Differential Equations]. Moscow: Nauka; 1973. 631 p. (In Russ.)

Godunov SK, Ryabenkii VS. Raznostnye skhemy. Vvedenie v teoriyu [Difference Schemes. An Introduction to the Theory]. Moscow: Nauka; 1973. 400 p. (In Russ.)

Kaldybekova BK, Penkin OM. Nizkaya chastota sobstvennykh kolebanii spetsial’noi setki iz strun [On the low frequencies of natural oscillations of a special grid of strings]. Vestnik KazNPU imeni Abaya. Seriya «Fiziko-matematicheskie nauki». 2017;1(57):28–33. (In Russ.)

Kuleshov PA, Diab AT, Penkin OM. Otsenka pervogo sobstvennogo znacheniya laplasiana na grafe [Estimate of the first eigenvalue of the Laplacian on a graph]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 2014;96(6):885–895. (In Russ.)

Richtmyer R, Morton K. Raznostnye metody resheniya kraevykh zadach [Difference Methods for Initial-Value Problems]. Moscow: Mir; 1972. 418 p. (In Russ.)