ON THE ANALOGUE OF THE CAUCHY PROBLEM FOR A SYSTEM OF SECOND ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2022-54-1-40–51Keywords:
Riemann method, Cauchy Problem, Euler--Poisson--Darboux Equation, system of partial differential equationsAbstract
We consider the system of n Euler – Poisson – Darboux Equations in matrix notation and study the case when matrix coefficient has one eigenvalue lying in (1/2,1). The singularity of equation makes the classical formulation of the Cauchy problem ill-posed.We formulate well-posed analogue of Cauchy problem. The singular behavior can be compensated by adding weight to both of conditions.We perform the change of variables to reduce the coefficient matrix to Jordan normal form. The coefficient is one Jordan block of order n for the case of real eigenvalues and a real analogue of the Jordan block of order n/2 for the case of complex conjugate eigenvalues. We construct the solutions using the Riemann method and properties of matrix functions and formulate the well-posedness theorems.
Downloads
References
Андреев А. А. 1983. Задачи Коши – Гурса и Дарбу для системы уравнений Эйлера – Пуассона –Дарбу (ЭПД). Межвузовский сборник научных трудов дифференциальные уравнения с частными производными: 53–57.
Андреев А. А. 1980. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа. Дифференциальные уравнения: сб. науч. тр. пед. ин-тов РСФСР. Рязан. гос. пед. ин-т.: 9–14.
Андреев А. А., Максимова Е. А. 2015. Краевые задачи для матричного уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу с данными на характеристике. Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, (19)4:603–612.
Бейтмен Г., Эрдейи А. 1973. Высшие трансцендентные функции. Т.1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 296.
Бицадзе А. В. 1970. К теории одного класса уравнений смешанного типа. Некоторые проблемы математики и механики: 112–119.
Бицадзе А. В. 1959. Уравнения смешанного типа. М.: Издательство Академии наук СССР, 164.
Глушак А. В. 2016. Нелокальная задача для абстрактного уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу. Изв. Вузов. Матем., 6: 27–35.
Катрахов В. В., Ситник С. М. 2018. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений. Сингулярные дифференциальные уравнения, СМФН, М.: Российский университет дружбы народов, (64)2: 211–426.
Ланкастер П. 1982. Теория матриц. М.: Наука, 272.
Максимова Е. А. 2012. О задаче Коши для системы уравнений Эйлера – Пуассона – Дарбу с нильпотентным матричным коэффициентом. Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 3(28): 184–187.
Максимова Е. А. 2012. О задаче Коши для n-мерной системы уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу на плоскости. Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 1(26): 21–30.
Маричев О. И., Килбас А. А., Репин О. А. 2008. Краевые задачи для уравнений с частными производными с разрывными коэффициентами. Самара: Самарск. гос. экономический ун-т, 276.
Маркус М. and Минк Х. 1972. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 232.
Спицын В. Л. 1999. О методе Римана – Адамара для одной системы гиперболического типа второго порядка. Вест. Сам. Гос. Тех. Ун-та. Сер. Физ.-мат. Науки, 7: 19-26.
Терсенов С. А. 1973. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе: Учеб. пособие для вузов. Новосибирск: Изд-во Новосибирск. ун-та, 144.
Тыртышников Е. Е. 2007. Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит, 480.
Хайруллин Р. С. 2014. Задача Коши для уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу. Казань: Казанский университет, 276.
Хайруллин Р. С. 1996. Задача Трикоми для одного уравнения с сингулярными коэффициентами. Известия Вузов. Математика, 3(40), 68–76.
Elianu I. 1953. Cercetari asupra sistemelor de ecuatii li neare cu derivate partiale de tip Laplace. Studii Si Cercetari Matematice, IV, 155-196.
Euler L. 1768. Institutiones calculi integralis, Opera Omnia. Ser. 1. T. 13. Leipzig, Berlin.
Darboux G. 1889. Le﹐cons sur la teorie des surfaces, Part 2, Paris: Gauthier – Villers et Fils,580.
Poisson S. D. 1823. Memoire sur l’integration des equations lineaires aux differences partielles, J. de L’Ecole Polytechechnique, Ser. 1:215–248
Riemann B. 1860. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite. Abhandlungen der onigkuichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, 8: 43–65.
Abstract views: 151
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2022 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
