ON THE HISTORY OF THE POSITIVE OPERATORS (1900s - 1960s) AND THE CONTRIBUTION OF M. A. KRASNOSEL'SKII
The work is supported by R.FBR, project 20-011-00402.
DOI:
https://doi.org/10.18413/2687-0959-2020-52-2-105-127Abstract
Goal. The aim of the work is studying of the contribution of foreign and domestic mathematicians,
in particular M. A. Krasnoselskii, to the development of the theory of linear and nonlinear positive operators for
the period from the mid-1900s until the end of the 1960s.
Method. The study is based on an analysis of original works of O. Perron, G. Frobenius, R. Jentzsch, P. S.
Urysohn, M. G. Krein, M. A. Rutman, M. A. Krasnoselskii and others in the context of the global process of
development of functional analysis.
Result. The contribution of domestic scientists in the eld of positive operators was larger than that of the
rest of the world mathematical community in the period under review. Soviet mathematicians M. G. Krein and
his student M. A. Rutman in the 1940s created the theory of cones and linear positive operators A in space of
innite dimension. They applied this theory to the study of the solvability of equations of the form Ax = x.
Thanks to the eorts of another Krein student M. A. Krasnoselskii - the theory of positive operators has become
a general method for solving a wide class of problems of a qualitative nature, related to the analysis of nonlinear
operator equations, since the mid 1950s (proof of new xed point theorems and theorems about the spectrum
structure of the operator A), investigation of the bifurcation value of the parameter in the equation x = A(x; ),
substantiation of the successive approximations method for the equation Ax = x in a cone of Banach space for
nonlinear operator A and so on). Besdides, in the framework of the theory created by Krasnoselskii, a number of
important applied problems were solved.
Discussion. Analysis of developments in the eld of positive operators showed that in one country (USSR)
may be formed conditions for the successful creation and development of a separate scientic eld. Of great
importance here is the scale of the scientists who stood at the origins of this direction M. G. Krein and M. A.
Krasnoselskii.
Downloads
References
Ахиезер Н., Крейн М. 1938. О некоторых вопросах теории моментов. Харьков, гос. науч.-техн. изд-во Украины, 256.
Бахтин И. А. 1957. Об одном классе уравнений с положительными операторами. М.: ДАН СССР, 117(1): 13-16.
Бахтин И. А. 1975. Конусы в пространствах Банаха. Ч. 1. Воронеж: Воронеж, гос. пед. ин-т, 183.
Бахтин И. А., Бахтина А. А. 1976. Конусы в пространствах Банаха. Ч. 2. Воронеж: Воронеж, гос. пед. ин-т, 135.
Бахтин И. А., Красносельский М. А. 1955. К задаче о продольном изгибе стержня переменной жёсткости. М.: ДАН СССР, 105 (4): 621-624.
Бахтин И. А., Красносельский М. А. 1958. К теории уравнений с вогнутыми операторами. М.: ДАН СССР, 123 (1): 17-20.
Бахтин И. А., Красносельский М. А. 1961. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами. Новосибирск, Сибирский мат. ж., 2.3 : 313-330.
Богатов, Е. М., Мухин Р. Р. 2016. Из истории нелинейных интегральных уравнений. Саратов, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 24 (2): 77-114.
Богатов Е. М. 2017. Об истории развития нелинейных интегральных уравнений в СССР. Сильные нелинейности. Белгород, Науч. вед. БелГУ. Сер. Матем., Физ., 6 (46): 93-106.
Богатов Е. М. 2018. Об истории метода неподвижной точки и вкладе советских математиков (1920-е - 1950-е гг.). Тула, Чебышевский сборник, 19(2): 30-55.
Богатов Е. М. 2019. О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях. Саратов, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 27(1): 96114.
Богатов Е. М. 2019 а. О развитии теории конусов в работах отечественных математиков. XXV Годичная научная конференция ИНЕТ РАН им. С. И. Вавилова. Саратов: Амирит, 224-227.
Богатов Е. М. 2019 Ь. Об истории теории конусов и полуупорядоченных пространств (в контексте развития нелинейного функционального анализа). Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории. Материалы XVI меж- дунар. конф., посвягц. 80-летию со дня рождения проф. Мишеля Деза (13-18 мая 2019). Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 322-325.
Богатов Е. М. 2020. О развитии теории положительных операторов и вкладе М. А. Красносельского. Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна - 2020: материалы международ, конф. Ред. В.А. Костин. Воронеж: Изд.-полиграф. центр «Научная книга», 8489.
Боголюбов Н. Н., Крейн С. Г. 1947. Про позитивш цшком неперервш оператори. Киев, Зб1рник праць 1нституту математики Академи наук УРСР, 9: 130-139.
Боголюбов Н. Н., Ишлинский А. Ю., Канторович Л. В. и др. 1981. Марк Александрович Красносельский (к шестидесятилетию со дня рождения). М.: УМН, 36(2) : 215-220.
Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. 1935. Об одном специальном классе детерминантов в связи с интегральными ядрами Kellog’a. М.: Матем. сб., 42(4) : 501-508.
Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. 1950. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. М-Л.: ГИТТЛ, 360.
Гросберг Ю. И., Крейн М. Г. 1939. О разложении линейного функционала на положительные составляющие. М.: ДАН СССР, 15(3) : 721-724.
Дорохов А. Н. 2009. Положительные решения нелинейных уравнений в F-пространствах : Дис. ... кандидата физ.-мат. наук : 01.01.01. Воронеж, ВГУ, 94.
Красносельский М. А. 1951. Операторы с монотонной минорантой. М., ДАН СССР, 76 (4) : 481-484.
Красносельский М. А. 1954. Некоторые задачи нелинейного анализа. М.: УМН, 9:3(61): 57-114.
Красносельский М. А. 1956. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: ГИТ. I. 392.
Красносельский М. А. 1960. Неподвижные точки операторов, сжимающих или растягивающих конус. М.: Докл. АН СССР, 135(3): 527-530.
Красносельский М. А. 1962. Положительные решения операторных уравнений. М.: ФИЗМАТ- ГИЗ, 394.
Красносельский М. А. 1966. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 331.
Красносельский М. А., Забрейко П. П. 1975. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 511.
Красносельский М. А., Ладыженский Л. А. 1954. Структура спектра положительных неоднородных операторов. М.: ГИТТЛ, Тр. ММО, 3: 321-346.
Красносельский М. А., Ладыженский Л. А. 1959. Об объёме понятия uo-вогнутого оператора. Казань, Изв. вузов. Матем., 5: 112-121.
Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. 1958. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: ГИФМЛ, 271.
Красносельский М. А., Стеценко В. Я. 1963. О некоторых нелинейных задачах, имеющих много решений. Новосибирск, Сиб. мат. ж., 4.1: 120-137.
Красносельский М. А., Стеценко В. Я. 1969. К теории уравнений с вогнутыми операторами. Новосибирск, Сиб. мат. ж., 10(3): 565-572.
Крейн М. 1934 а. Об одном обобщении исследований акад. Маркова о предельных величинах интегралов. М.: Тр. II Всесоюзного матем. съезда, 2: 152-154.
Крейн М. 1934 Ь. Об узлах гармонических колебаний механических систем некоторого специального типа. М.: Мат. сб. 41(2): 339-348.
Крейн М. Г. 1937. Про позитивш адитивш функцюнали в .liiiiiinnx нормованих просторах. Харюв, Сообщ. Харьков. Математ. об-ва, XIV: 227-237.
Крейн М. Г. 1938. Общие теоремы о позитивных функционалах. В сб. Ахиезер Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов. Статья II, Харьков, гос. науч.-техн, изд-во Украины, 121-150.
Крейн М. Г. 1938. О позитивных функционалах в линейных нормированных пространствах. В сб. Ахиезер Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов. Статья III, Харьков, гос. науч.-техн, изд-во Украины, 151-170.
Крейн М. Г. 1938. L-проблема в абстрактном линейном нормированном пространстве. В сб. Ахиезер Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов. Статья IV, Харьков, гос. науч.- техн. изд-во Украины, 171-199.
Крейн М. Г. 1939. О линейных операторах, оставляющих инвариантным некоторое коническое множество. М.: ДАН СССР, 23(8): 749-752.
Крейн М. Г., Рутман М. А. 1948. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. М.: УМН, 3: 1(23) : 3-95.
Крейн М. Г., Нудельман А. А. 1973. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 522.
Кубекова Б.С. 2001. Приближенные решения операторных уравнений с монотонными операторами в пространствах с двумя полуупорядоченностями. Дис. ... кандидата физ.-мат. наук : 01.01.01. Ростов-на-Дону, Рост. гос. ун-т., 118.
Нейман Л. С. 1972. Радость открытия (математик Павел Урысон). Научная редакция проф. В. А. Ефремовича. М.: Детская литература, 176.
Опойцев В. И. 1975. Гетерогенные и комбинированно-вогнутые операторы. Новосибирск, Сиб. мат. ж., 16(4): 781-792.
Опойцев В. И. 1977. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. М.: Наука, 248.
Опойцев В. И. 1978. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов . М.: МГУ, Тр. ММО, 36: 237-273.
Опойцев В. И., Хуродзе Т. А. 1984. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Тбилиси, Изд-во Тбилисского унив., 270.
Рутман М. 1938. Об одном специальном классе вполне непрерывных операторов. М.: ДАН СССР, 18 (9): 625-627.
Урысон П. С. 1923. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений. М., Матем. сб., 31: 236-255.
Урысон П. С. 1951. Труды по топологии и другим областям математики, т. 1, М.-Л., ГИТТЛ, 512.
Alexandroff Р., Hopf Н. 1935.Topologie. Berlin, Springer-Verlag, 649.
Aliprantis C. D., Burkinshaw O. 2006. Positive operators. Dordrecht, Springer Science & Business Media, V. 119, 376.
Amann H. 1972. On the number of solutions of nonlinear equations in ordered Banach spaces. Journal of functional analysis. 11(3): 346-384.
Amann H. 1976. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces. Philadelphia, SIAM Review, 18(4) : 620-709.
Banach S. 1932. Theorie des operations lineaires. Warszawa, Monografje Matematyczne, I, 231.
Bateman H. 1910. Report on the history and present state of the theory of integral equations. London, British Ass. Adv. Sci., 345-424.
Benjamin T. B. 1971. A unified theory of conjugate flows. London, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Math, and Phys. Sci., 269(1201): 587-643.
Bernkopf M. 1966. The development of function spaces with particular reference to their origins in integral equation theory. Springer, Arch. Hist. Ex. Sci., 3: 1-96.
Birkhoff G., Kreyszig E. 1984. The establishment of functional analysis. Amsterdam, Historia math., 11: 258-321.
Bogatov E. M. 2020. On the history of variational methods of non-linear equations investigations and the contribution of Soviet scientists (1920s - 1950s). Warszawa, Antiq. Math., 14 (1): to appear.
Bourbaki Nicolas. 1974. E lements d’histoire des mathematiques. Paris, Hermann. 3e edition corrige et augments. Paris, Hermann, 376.
Brouwer L. E. J. 1911. Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten. Leipzig, Math. Annal.,71: 97-115.
Gantmacher F. R., Krein M. G. 1935. Sur les matrices oscillatoires. Paris, OR Acad. Sci. Paris, 201 : 577-579.
Gantmakher F., Krein M. 1937. Sur les matrices completement non negatives et oscillatoires. Groningen, Compositio mathematica, 4: 445-476.
Dieudonne J. 1981. History of functional analysis. Amsterdam, North-Holland publishing company, 316.
Hilbert D. 1904. Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Vierte Mitteilung. Gottingen, Gott. Nachr.: 49-91.
Jentzsch R. 1912. Uber Integralgleichungen mit positivem Kern. Berlin, J. Reine Angew. Math., 141: 235-244.
Frobenius G. 1908. Uber Matrizen aus positiven Elementen, 1. Berlin, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss.: 471-476.
Frobenius G. 1909. Uber Matrizen aus positiven Elementen, 2. Berlin, Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss.: 514-518.
Fredholm I. 1903. Sur une classe d’equations fonctionnelles. Djursholm , Acta Math., 27: 365-390.
Fredholm I. 1906. Solution d’un probleme fondamental de la theorie de l’elasticite. Stockholm, Ark. Math. Astronom. Fys., 2 (28) : 3-8.
Kjeldsen T. H. 1993. The early history of the moment problem. Amsterdam, Hist. Math., 20 (1) : 19-44.
Krasnosel’skii M. A. 1964. Positive solutions of operator equations. Groningen , Noordhoff, 381.
Krein M. 1933. Uber eine neue Klasse von Hermiteschen Formen und fiber eine Verallgemeinerung des trigonometrischen Momentenproblems. Moscow, Bulletin de l’Acade mie des Sciences de l’URSS. Classe des sciences mathematiques et na, 9 : 1259-1275.
Kwong M. K. 2008. The topological nature of Krasnoselskii’s cone fixed point theorem. London, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 69 (3): 1-18.
Leggett R. W., Williams L. R. 1979. Multiple positive fixed points of nonlinear operators on ordered Banach spaces. Bloomington, Indiana University Math. J. 28 (4) : 673-688.
Lutzen J. 1984. Sturm and Liouville’s work on ordinary linear differential equations. The emergence of Sturm-Liouville theory. Springer-Verlag GmbH, Arch. Hist. Exact Sci., 29 (4): 309-376.
Mazur S. 1933. Uber konvexe Mengen in linearen normierten Raumen. Lwow, Studia Math., 4: 70-84.
Nussbaum R. D. 1973. Periodic solutions of some nonlinear, autonomous functional differential equations. II. Amsterdam, Journal of Differential Equations, 14(2): 360-394.
Padovani F. 2009. Collected Works of Charles Francois Sturm. Basel, Birkhauser, 808.
Perron O. 1907. Grundlagen f fir eine Theorie des Jacobischen Kettenbruchalgorithmus. Leipzig, Math. Annalen, 64(2) : 1-76.
Perron O. 1907. Zur Theorie der Matrices. Leipzig, Math. Annalen, 64 (2): 248-263.
Perron O. 1913. Erweiterung eines Markoffschen Satzes fiber die Konvergenz gewisser Kettenbrfiche. Leipzig, Math. Annalen, 74 : 545-554.
Riesz M. 1923. Sur le probleme des moments. Troisieme Note. Stokholm, Ark. Mat. Fys., 16 : 1-52.
Riesz F. 1928. Sur la de composition des operations fonctionnelles lineaires. Bolonia, Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, 1928. V. 3 : 143-148.
Rothe E. 1944. On non-negative functional transformations. Baltimore, Johns Hopkins University Press, American J. Math., 66(2): 245-254.
Rutman M. A. 1940. Sur les operateurs totalement continue lineaires laissant invariant un certain cone. Moscow, Mat. Sb. (N.S.), 8(50):77-96.
Schaefer H. H. 1958. Halbgeordnete lokalkonvexe Vektorraume I. Leipzig, Math. Ann., 135:115-141.
Schaefer H. H. 1959. Halbgeordnete lokalkonvexe Vektorraume II. Leipzig, Math. Ann., 138: 254286.
Schaefer H. H. 1960. Halbgeordnete lokalkonvexe Vektorraume III. Leipzig, Math. Ann., 141:113142.
Schauder J. 1930. Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen. Krakow, Studia Math. 2: 171-180.
Schmidt E. 1907. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willkiirlichen Funktionen nach System vorgeschriebener. Leipzig, Math. Ann., 63: 433-476.
Schmidt E. 1907. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. II. Teil. Auflosung der allgemeinen linearen Integralgleichung. Leipzig, Math. Ann., 64:161-174.
Schmidt E. 1908. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Ill Teil. Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer Losungen. Leipzig, Math. Ann., 65:370-399.
Stewart G. W. 2014. FREDHOLM, HILBERT, SCHMIDT Three Fundamental Papers on Integral Equations. URL: http://www.cs.umd.edu/_stewart/FHS.pdf (дата обращения 03.03.2019).
Sturm C. 1833. Analyse d’un me moire sur les proprietes gene rales des fonctions, qui dependent d’e quations diflerentielles lineaires du second ordre. Paris, L’Institut. Journ. Acad, et Soc. 11: 219-223.
Tychonoff A. 1935. Ein Fixpunktsatz. Leipzig, Math. Ann., Ill: 767-776.
Wang H. 2003. On the number of positive solutions of nonlinear systems. Amsterdam, J. Math. Analysis Appl., 281(1): 287-306.
Webb J. R. L. 2010. Solutions of nonlinear equations in cones and positive linear operators. London, J. of London Math. Soc., 82(2) : 420-436
Abstract views: 499
