On an elliptic functional differential equation with contractions
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2022-54-4-219-241Keywords:
Elliptic Equations, Weighted Spaces, Functional Differential Equations, Weighted Shift OperatorAbstract
The article is devoted to the study of one elliptic-type functional differential equation that contains in its upper part the contraction transformation of unknown function arguments herewith contractions are different for every argument, i.e. contractions are orthotropic. Some necessary and sufficient conditions of strong ellipticity in the terms of the Garding-type inequality fulfilment were presented in explicit form. Thus, a new class of equations satisfying the Kato square root problem was obtained. The first boundary valued problem for the strongly elliptic functional differential equation with contractions was considered in the domain containing the origin—the fixed point of contraction transformation, and star-shaped regarding it. The Fredholm solvability and spectrum structure in the Sobolev spaces were studied. Further the sufficient conditions for solvability of the equation considered in the Kondratiev weighted spaces on the plane were obtained. It is remarkable that the conditions depend on the weight parameter. In the course of the proof, sufficient conditions for the invertibility of a finite-difference operator with variable coefficients on a line are obtained. Some concrete examples illustrating the obtained results were presented.
Acknowledgements
The work is supported by Russian Foundation of Basic Research, project No. 20-01-00288.
Downloads
References
Агранович М. С., Селицкий А. М. 2013. Дробные степени операторов, отвечающих коэрцитивным задачам в липшицевых областях. Функциональный анализ и его приложения, 47(2): 2–17. DOI: 10.4213/faa3109
Антоневич А. Б. 1988. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. Мн.: Университетское, 232.
Антоневич А. Б., Ахматова А. А. 2012. Спектральные свойства дискретного оператора взвешенного сдвига. Труды Института математики, 20(1): 14–21.
Вишик М. И. 1951. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. Математический сборник, 29(71), 3: 615–676.
Лийко В. В., Скубачевский А. Л. 2019. Сильно эллиптические дифференциально-разностные уравнения со смешанными краевыми условиями в цилиндрической области. Современная математика. Фундаментальные направления, 65(4): 635–654. DOI: 10.22363/2413-3639-2019-65-4-635-654
Лийко В. В., Скубачевский А. Л. 2020. Смешанныезадачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в цилиндре. Математические заметки, 107(5): 693–716. DOI: 10.4213/mzm12597
Кондратьев В. А. 1967. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. Труды Московского математического общества, 16: 209–292.
Пламеневский Б. А. 1986. Алгебры псевдодифференциальных операторов. М.: Наука, 256.
Полянин А. Д., Манжиров А. В. 1998. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. М.: Факториал, 432.
Россовский Л. Е. 1996. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений. Математические заметки, 59(1): 103–113. DOI: 10.4213/mzm1698
Россовский Л. Е. 2001. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжением и сжатием аргументов. Труды Московского математического общества, 62: 199–228.
Россовский Л. Е. 2011. О спектральной устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Математические заметки, 90(6): 885–901. DOI: 10.4213/mzm8753
Россовский Л. Е. 2012. К вопросу о коэрцитивности функционально-дифференциальных уравнений. Современная математика. Фундаментальные направления, 45: 122–131. DOI: 10.1007/s10958-014-2018-5
Россовский Л. Е. 2014. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции. Современная математика. Фундаментальные направления. 54: 3–138. DOI: 10.1007/s10958-017-3360-1
Россовский Л. Е., Тасевич А. Л. 2015. Первая краевая задача для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения с ортотропными сжатиями. Математические заметки, 97(5): 733–748. DOI: 10.4213/mzm10654
Россовский Л. Е., Тасевич А. Л. 2017. Об однозначной разрешимости функционально-диффернциального уравнения с ортотропными сжатиями в весовых пространствах. Дифференциальные уравнения, 53(12): 1631–1644. DOI: 10.1134/S037406411712010X
Скубачевский А. Л. 1986. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы. Математический сборник, 129(171), 2: 279–302. DOI: 10.1070/SM1987v057n01ABEH003070
Скубачевский А. Л. 2016. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения. Успехи математических наук, 71, 5(431): 3–112. DOI: 10.4213/rm9739
Скубачевский А. Л. 2018. Гипотеза Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением в цилиндре. Доклады Российской академии наук, 478(2): 145–147. DOI: 10.7868/S0869565218020056
Скубачевский А. Л., Шамин Р. В. 2001. Параболические дифференциально-разностные уравнения второго порядка. Доклады Российской академии наук, 379(5): 595–598.
Auscher P., Hofmann S., McIntosh A., Tchamitchian P. 2001. The Kato square root problem for higher order elliptic operators and systems on R
Abstract views: 119
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2022 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
