GENERAL FORMULA OF INVERSION OF WEIGHTED SPHERICAL MEAN
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2021-53-1-13-30Keywords:
spherical mean, hyperbolic Riesz potential, generalized translation, weighted spherical mean, mixed hyperbolic Riesz B--potentialAbstract
The article presents formulas for inversion of the weighted spherical mean. Interest in the reconstruction of function using its integral over a sphere, stimulated by a number of new problems and methods of image reconstruction, has grown tremendously over the past six decades.
We consider a generalization of the classical spherical mean to the case when the generalized translation generated by the Bessel operator acts instead of the usual shift. The inverse operator to the considered generalized spherical mean is constructed using the mixed hyperbolic Riesz B-potential. As a special case, this problem includes spherical means acting on radially symmetric functions. In addition, the article provides a general inversion formula for the classical spherical mean, regardless of the evenness or oddness of the dimension of the space, obtained by using the Riesz hyperbolic potential.
Various special cases and examples are also given.
Downloads
References
Берест Ю. Ю., Веселов А. П. 1994. Принцип Гюйгенса и интегрируемость. Успехи математических наук, 49(6(300)): 7–78.
Житомирский Я. И. 1955. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя. Матем. сб., 36(78)(2): 299–310.
Йон Ф. 1958. Плоские волны и сферические средние в применении к диференциальным уравнениям с частными производными. M., Изд.-во иностр. лит., 158.
Катрахов В. В., Ситник С. М. 2018. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений. Современная математика. Фундаментальные направления, 64(2): 211–426.
Киприянов И. А. 1997. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М., Наука. Физматлит, 204.
Киприянов И. А. 2000. Преобразование Фурье – Бесселя и дробные степени дифференциальных операторов. ДАН, 373(1): 17–20.
Киприянов И. А. 1998. Весовые потенциалы Рисса. Сингулярные задачи. ДАН, 363(6): 738–740.
Левитан Б. М. 1951. Разложения по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье. М., УМН. 6:2(42): 102–143.
Ляхов Л. Н., Половинкин И. П., Шишкина Э. Л. 2014. Об одной задаче И.А. Киприянова для сингулярного ультрагиперболического уравнения. Дифференц. уравнения, 50(4): 516–528.
Ляхов Л. Н., Половинкин И. П., Шишкина Э. Л. 2014. Формулы решения задачи Коши для сингулярного волнового уравнения с оператором Бесселя по времени. Доклады Академии наук, 459(5):533–538.
Ногин В. А., Сухинин Е. В. 1993. Обращение и описание гиперболических потенциалов с Lp плотностями. Докл. РАН 329(5): 550–552.
Ногин В. А., Сухинин Е. В. 1992. Обращение и описание гиперболических потенциалов с Lp плотностями. Депонирована в ВИНИТИ. Москва. 1992. No 2512-92: 234–249.
Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И., 2003. Интегралы и ряды, Том 1. Элементарные функции. Физматлит, 632.
Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И., 2003. Интегралы и ряды, Том 2. Специальные функции. Физматлит, 664.
Ситник С. М., Шишкина Э. Л. 2019. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. Физматлит, Москва, 224.
Agranovsky M., Finch D., Kuchment P. 2009. Range conditions for a spherical mean transform. Inverse Probl. Imaging, 3(3): 373–382.
Agranovsky M., Kuchment P., Kunyansky L. 2009 On reconstruction formulas and algorithms for the thermoacoustic tomography. In Photoacoustic imaging and spectroscopy, ed. by L. Wang, CRC Press, 89–102.
Antipov Yu. A., Estrada R., Rubin B. 2012. Method of analytic continuation for the inverse spherical mean transform in constant curvature spaces. Journal Danalyse Mathematique, 118: 623–656.
Delgado B. B., Khmelnytskaya K. V., Kravchenko V. V. 2019. The transmutation operator method for efficient solution of the inverse Sturm – Liouville problem on a half-line. Mathematical Methods in the Applied Sciences. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 42(18): 7359–7366.
Elouadih S., Daher R. 2019. Generalization of Titchmarsh’s Theorem for the Dunkl Transform in the Space. International Journal of Mathematical Modelling & Computations, 6(4): 261–267.
Finch D., Patch S., Rakesh K. 2004. Determining a function from its mean values over a family of spheres. SIAM J. Math. Anal., 35(5): 1213-–1240.
Hamma M. E., Daher R. 2014. Estimate of K-functionals and modulus of smoothness constructed by generalized spherical mean operator. Pro Indian Acad. Sci. Math. Sci., 124(2): 235–242.
Karapetyants A. N., Khmelnytskaya K. V., Kravchenko V. V. 2019. A practical method for solving the inverse quantum scattering problem on a half line. Journal of Physics: Conference Series. 1540(1): 012007 1–8.
Kravchenko V. V. 2019. On a method for solving the inverse scattering problem on the line. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 42(4): 1321–1327.
Kravchenko V. V. 2019. On a method for solving the inverse Sturm – Liouville problem. Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 27: 401–407.
Kuchment P. 2014. The Radon Transform and Medical Imaging. Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, PA, USA, 260.
Kunyansky L. 2007. Explicit inversion formulae for the spherical mean Radon transform. Inverse Problems, 23: 373–383.
Li Z., Song F. 2009. Inversion Formulas for the Spherical Radon-Dunkl Transform. SIGMA, 5(25): 1–15.
Rubin B. 1996. Fractional Integrals and Potentials. Addison-Wesley, Essex, 424.
Rubin B. 2015. Introduction to Radon Transforms: With Elements of Fractional Calculus and Harmonic Analysis. Cambridge University Press, UK, 596.
Rubin B. 2008. Inversion formulae for the spherical mean in odd dimensions and the Euler–Poisson–Darboux equation. Inverse Problems, 24(2): 1–10.
Shishkina E. L. 2017. Inversion of the mixed Riesz hyperbolic B–potentials. International Journal of Applied Mathematics. 30(6): 487–500.
Shishkina E. L., Sitnik S. M. 2017. General form of the Euler–Poisson–Darboux equation and application of the transmutation method. Electron. J. Differential Equations. 177: 1–20.
Shishkina E. L. 2019. General Euler–Poisson–Darboux equation and hyperbolic B-potentials. Partial differential equations, CMFD, PFUR, M. 65(2): 157–338.
Shishkina E. L., Sitnik S. M. 2020. Transmutations, singular and fractional differential equations with applications to mathematical physics. Elsevier, Amsterdam, 564.
Weinstein A. 1962. Spherical means in spaces of constant curvature. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 4(60): 87–91.
Abstract views: 189
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2021 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
