REVIEW OF THE MONOGRAPH: V. V. KRAVCHENKO DIRECT AND INVERSE STURM – LIOUVILLE PROBLEMS. SPRINGER, 2020, IN ENGLISH. LANGUAGE. (WITH A BRIEF OUTLINE OF THE DEVELOPMENT OF THE THEORY OF INVERSE PROBLEMS FOR THE STURM – LIOUVILLE EQUATION)
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2021-53-1-73-84Keywords:
direct Sturm--Liouville problem, inverse Sturm--Liouville problem, transmutations, Gelfand--Levitan-Marchenko equationAbstract
The proposed review is written on the book by V.V. Kravchenko, in which the author's approach to the effective solution of direct and inverse Sturm--Liouville problems on finite and infinite intervals is presented.
The method proposed in the monograph under review is based on deep mathematical results and especially on the concept of transmutation
operators. More, the review contains a short survey of results in inverse problems for Sturm-Liouville equation and extensive reference list.
Downloads
References
Абловиц М., Сигур Х. 1987. Солитоны и метод обратной задачи. М., Мир, 479.
Агранович З. С., Марченко В. А. 1960. Обратная задача теории рассеяния. Харьков, изд. ХГУ, 268.
Алгазин С. Д. 2007. Численные алгоритмы классической матфизики. XVIII. Вычисление далёких собственных значений в задаче Штурма – Лиувилля. Препринт. Институт проблем механики РАН, 839, 15.
Алимов Ш. А. 1976. О работах А. Н. Тихонова по обратным задачам Штурма–Лиувилля. УМН. 31(6(192)): 84–88.
Ватульян А. О. 2007. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М., Физматлит, 223.
Ватульян А. О. 2019. Коэффициентные обратные задачи механики. М., Физматлит, 271.
Гельфанд И. М., Левитан Б. М. 1951. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР. Сер. матем., 15(4): 309–360.
Жура Н. А., Солдатов А. П. 2015. О представлении решения обратной задачи Штурма–Лиувилля на всей оси. Дифференциальные уравнения. 51(8): 1027–1037.
Жура Н. А., Солдатов А. П. 2013. К решению обратной задачи Штурма–Лиувилля на всей оси. ДАН России. 453(4): 368–372.
Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. 1980. Теория солитонов: метод обратной задачи. М., Наука, 320.
Кабанихиин С. И. 2009. Обратные и некорректные задачи, Сибирское научное издательство, Новосибирск, 512.
Катрахов В. В., Ситник С. М. 2018. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений. Современная математика. Фундаментальные направления, 64(2): 211–426.
Кравченко В. В., Шишкина Э. Л., Торба С. М. 2018. О представлении в виде ряда интегральных ядер операторов преобразования для возмущенных уравнений Бесселя. Матем. заметки, 104(4): 552–570.
Кузнецов Н. В. 1962. Обобщение одной теоремы В. А. Амбарцумяна. Докл. АН СССР, 146(6): 1259–1262.
Левитан Б. М. 1984. Обратные задачи Штурма – Лиувилля. М. Наука, 240.
Левитан Б. М., Саргсян И. С. 1988. Операторы Штурма – Лиувилля и Дирака. М. Наука, 432.
Марченко В. А. 1972. Спектральная теория операторов Штурма – Лиувилля. Киев, Наукова Думка, 220.
Марченко В. А. 1977. Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения. Киев, Наукова Думка, 331.
Марченко В. А. 1950. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка. М., Докл. АН СССР. 72(3): 457–460.
Отелбаев М. О. 1990. Оценки спектра оператора Штурма – Лиувилля. Алма-Ата: Гылым, 191.
Повзнер А. Я. 1948. О дифференциальных уравнениях типа Штурма – Лиувилля на полуоси. Матем. сборник. 23(65(1)): 3–52.
Рамм А. Г. 1994. Многомерные обратные задачи рассеяния. Пер. с англ. М. В. Зеленцовой; Под ред. В. Г. Романова. М., Мир, 495.
Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. 2009. Обратные задачи Штурма––Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. М., Изд-во Моск. ун-та, 184.
Ситник С. М., Шишкина Э. Л. 2019. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя. Физматлит, Москва, 224.
Сохин А. С. 1971. Обратные задачи рассеяния для уравнений с особенностью. Тр. физ.–тех. ин-та низких температурур АН УССР. 2: 182–233.
Сохин А. С. 1973. Обратные задачи рассеяния для уравнений с особенностями специального вида. Харьков, Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 17: 36–64.
Старинец В. В. 2010. Сингулярные операторы Штурма – Лиувилля в пространствах с индефинитной метрикой, части 1-2. М., МГУП, 2010, 504.
Сташевская В. В. 1957. Об обратной задаче спектрального анализа для дифференциального оператора с особенностью в нуле. Харьков, Уч. зап. Харьковского матем. об-ва. 5: 49–86.
Титчмарш Э. Ч. 1960, 1961. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М., ИЛ, 278. Т.2. М., ИЛ, 555.
Тихонов А. Н. 1949. О единственности решения задачи электроразведки. ДАН, 69(6): 797–800.
Тихонов А. Н. 1965. К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований. ЖВМ и МФ, 5(3): 545–547.
Фаге Д. К., Нагнибида Н. И. 1977. Проблема эквивалентности обыкновенных дифференциальных операторов. Новосибирск, Наука, 280.
Шадан К., Сабатье П. 1980. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М., Мир, 408.
Юрко В. А. 2007. Введение в теорию обратных спектральных задач. М., Наука, 384.
Aliev A. R., Gasymova S. G., Gasymova D. G., Ahmadzadeh N. D. 2013. Approximate construction of the Jost function by the collocation method for Sturm – Liouville boundary value problem. Azerbaijan Journal of Mathematics, 3(2): 45–61.
Al-Gwaiz M. A. 2008. Sturm – Liouville Theory and its Applications. Springer, 264.
Ambartsumyan V. A. 1929. Uber eine frage der eigenwerttheorie. Z. Phys., 53: 690–695.
Amrein W. O. et al (Editors), 2005. Sturm – Liouville Theory, Past and Present. Birkhauser Verlag, 336.
Atkinson F. V., Mingarelli A. B. 2011. Multiparameter Eigenvalue Problems. Sturm – Liouville Theory. CRC, 301.
Begehr H., Gilbert R. 1992. Transformations, transmutations and kernel functions. vol. 1–2. Longman Scientific & Technical, Harlow, 416.
Behrndt J., de Snoo H., Hassi S. 2020. Boundary value problems, Weyl functions, and differential operators. Birkhauser, Basel, 772.
Borg G. 1946. Eine Umkehrung der Sturm – Liouville Eigenwertaufgabe.
Acta Math., 76: 1–96.
Boumenir A. 2006. The approximation of the transmutation kernel. J. Math. Phys., 013505.
Carroll R. W., Showalter R. E. 1976. Singular and Degenerate Cauchy problems. N.Y., Academic Press, 333.
Carroll R. W. 1979. Transmutation and operator differential equations. Mathematics Studies, v. 37, North Holland, Amsterdam–New York–Oxford, 1–245.
Carroll R. W. 1982. Transmutation, scattering theory and special functions. Mathematics Studies, v. 69, North Holland, Amsterdam - New York - Oxford, 456.
Carroll R. W. 1985. Transmutation theory and applications. Mathematics Studies, v. 117, North-Holland, Amsterdam - New York - Oxford, 101.
Castillo-Perez R., Kravchenko V. V., Torba S. M. 2019. A method for computation of scattering amplitudes and Green functions of whole axis problems. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 42(15): 5106–5117.
Chadan K., Cotton D., Paivarinta L., Rundell W. 1997. An Introduction to Inverse Scattering and Inverse Spectral Problems. SIAM, 198.
Chebli H., Fitouhi A., Hamza M. M., 1994. Expansion in series of Bessel functions and transmutations for perturbed Bessel operators. J. Math. Anal. Appl., 181(3), 789–802.
Colton D. L. 1976. Solution of boundary value problems by the method of integral operators. Pitman Publ., London, 148.
Delsarte J. 1938. Sur une extension de la formule de Taylor. J Math. Pures et Appl., 17: 213–230.
Delsarte J. 1938. Sur certaines transformations fonctionnelles relatives aux equations lineaires aux derives partielles du second ordre. C. R. Acad. Sc., 206: 178–182.
Delgado B. B., Khmelnytskaya K. V., Kravchenko V. V. 2019. The transmutation operator method for efficient solution of the inverse Sturm – Liouville problem on a half-line. Mathematical Methods in the Applied Sciences. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 42(18): 7359–7366.
Delgado B. B., Khmelnytskaya K. V., Kravchenko V. V. 2019. A representation for Jost solutions and an efficient method for solving the spectral problem on the half line. Mathematical Methods in the Applied Sciences, Published Online https://doi.org/10.1002/mma.5881.
Fitouhi A., Hamza M. M. 1990. A uniform expansion for the eigenfunction of a singular second-order differential operator. SIAM J. Math. Anal., 21(6): 1619–1632.
Freiling G., Yurko V. 2001. Inverse Sturm – Liouville problems and their applications. Nova Science Publishers, Inc., Huntington, NY, 305.
Fulton C., Pearson D., Pruess S. 2005. Computing the spectral function for singular Sturm – Liouville problem. Journal of Computational and Applied Mathematics, 176: 131–162.
Fulton C., Pearson D., Pruess S. 2008. Efficient calculation of spectral density functions for specific classes of singular Sturm – Liouville problems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 212: 150–178.
Guenther R. B., Lee J. W. 2019. Sturm – Liouville Problems. Theory and Numerical Implementation. CRC Press, 420.
Johnson R. S. 2012. Second-order ordinary differential equations, Special functions, Sturm – Liouville theory and transforms. Ventus Publishing, 181.
Karapetyants A. N., Khmelnytskaya K. V., Kravchenko V. V. 2019. A practical method for solving the inverse quantum scattering problem on a half line. Journal of Physics: Conference Series. 1540(1): 012007 1–8.
Khmelnytskaya K. V., Kravchenko V. V., Torba S. M. 2016. Modulated electromagnetic fields in inhomogeneous media, hyperbolic pseudoanalytic functions and transmutations. Journal of Mathematical Physics, 57: 051503.
Khmelnytskaya K. V., Kravchenko V. V., Torba S. M., Tremblay S. 2013. Wave polynomials, transmutations and Cauchy’s problem for the Klein-Gordon equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 399: 191–212.
Khmelnytskaya K. V., Kravchenko V. V., Torba S. M. 2020. Time-dependent one-dimensional electromagnetic wave propagation in inhomogeneous media: exact solution in terms of transmutations and Neumann series of Bessel functions. Lobachevskii Journal of Mathematics, 41(5): 785–796.
Kozlov V., Mazya V. 1997. Theory of a higher order Sturm – Liouville equation. Springer, (Lecture notes in mathematics; 1659), 140.
Kravchenko V. V. 2020. Direct and Inverse Sturm – Liouville Problems. A Method of Solution. In series: Frontiers in Mathematics. Springer Nature Switzerland AG, Birkhauser, Cham., 154.
Kravchenko I. V., Kravchenko V. V., Torba S. M., Dias J. C. 2018. Generalized exponential basis for efficient solving of homogeneous diffusion free boundary problems: Russian option pricing. arXiv:1808.08290.
Kravchenko V. V. 2018. Construction of a transmutation for the one-dimensional Schrodinger operator and a representation for solutions. Applied Mathematics and Computation, 328: 75–81.
Kravchenko V. V. 2019. On a method for solving the inverse Sturm – Liouville problem. Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 27: 401–407.
Kravchenko V. V. 2019. On a method for solving the inverse scattering problem on the line. Math Meth Appl Sci., 42: 1321–1327.
Kravchenko V. V., Navarro L. J., Torba S. M. 2017. Representation of solutions to the one-dimensional Schrodinger equation in terms of Neumann series of Bessel functions. Applied Mathematics and Computation, 314(1): 173–192.
Kravchenko V. V., Sitnik S. M. (eds.) 2020. Transmutation operators and applications. Trends in Mathematics, Birkhauser, Basel, 686
Kravchenko V. V., Torba S. M. 2015. Construction of transmutation operators and hyperbolic pseudoanalytic functions. Complex Anal. Oper. Theory, 9: 389–429.
Kravchenko V. V., Torba S. M. 2015. Analytic approximation of transmutation operators and applications to highly accurate solution of spectral problems. J. Comput. Appl. Math. 275: 1–26.
Kravchenko V. V., Torba S. M. 2018. A Neumann series of Bessel functions representation for solutions of Sturm – Liouville equations. Calcolo, 55: 11.
Kravchenko V. V., Torba S. M., Castillo-Perez R. 2018. A Neumann series of Bessel functions representation for solutions of perturbed Bessel equations. Applicable Analysis, 97(5): 677–704.
Kravchenko V. V., Torba S. M., Khmelnytskaya K. V. 2017. Transmutation operators: construction and applications. Proceedings of the 17th International Conference on Computational and Mathematical Methods in Science and Engineering CMMSE-2017, Cadiz, Andalucia, Espana, Julio 4-8 1198–1206.
Lowe B. D., Pilant M., Rundell W. 1992. The recovery of potentials from finite spectral data. SIAM J. Math. Anal., 23(2): 482–504.
Lutzen J. 1984. Sturm and Liouville’s work on ordinary linear differential equations. The emergence of Sturm – Liouville theory. Archive for History of Exact Sciences, 29(4): 309–376.
Masjed-Jamei M. 2020. Special Functions and Generalized Sturm – Liouville Problems. In series: Frontiers in Mathematics. Springer Nature Switzerland AG, Birkhauser, Cham, 313.
Pike S., Sabatier P. 2002. Scattering. Scattering and inverse scattering in pure and applied science. Vol. 1-2. Academic Press, San Diego, 1831.
Poschel J., Trubowitz E. 1987. Inverse spectral theory. Academic Press, London, 192.
Pryce J. D. 1993. Numerical solution of Sturm – Liouville problems, Clarendon Press, Oxford, 322.
Sitnik S. M. 2010. Transmutations and applications: a survey, http://arxiv.org/abs/1012.3741, 141.
Shishkina E. L., Sitnik S. M. 2020 Transmutations, singular and fractional differential equations with applications to mathematical physics. Elsevier, Amsterdam, 564.
Teschl G. 2009. Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrodinger operators. American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics, Providence, 99, 356.
Trimeche K. 1988. Transmutation operators and mean-periodic functions associated with differential operators. Harwood Academic Publishers, London, 282.
Zettl A. 2005. Sturm – Liouville theory. American Mathematical Society, Providence, 328.
Zhura N. A., Soldatov A. P. 2013. To inverse scattering problem of Gelfand, Levitan, Marchenko. AIP Conf. Proc. 1570, 298
Abstract views: 204
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2021 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
