Критерий однозначной разрешимости спектральной смешанной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева – Бицадзе

Серик Аймурзаевич Алдашев

doi:10.52575/2687-0959-2025-57-1-5-10

Авторы

Серик Аймурзаевич Алдашев Институт математики и математического моделирования Министерства образования и науки

DOI:

https://doi.org/10.52575/2687-0959-2025-57-1-5-10

Ключевые слова:

критерий, спектральная смешанная задача, собственные значения, собственные функции, сферические функции

Аннотация

Многомерные гиперболо-эллиптические уравнения описывают важные физические, астрономические и геометрические процессы. Известно, что колебания упругих мембран в пространстве по принципу Гамильтона можно моделировать многомерным волновым уравнением. Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем многомерное уравнение Лапласа. Так, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве многомерного уравнения Лавреньтева – Бицадзе. Теория краевых задач для гиперболо-эллиптических уравнений на плоскости хорошо изучена, а их многомерные аналоги интенсивно исследуются. Двумерные спектральные задачи для уравнений гиперболо-эллиптического типа достаточно хорошо изучены, однако их многомерные аналоги исследованы мало. В данной работе рассматривается спектральная смешанная задача для многомерного уравнения Лаврентьева – Бицадзе и устанавливается ее критерий однозначной разрешимости. Найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции этой задачи.

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Биография автора

Серик Аймурзаевич Алдашев, Институт математики и математического моделирования Министерства образования и науки

доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики и математического моделирования Министерства образования и науки,
г. Алматы, Казахстан
E-mail: aldash51@mail.ru
ORCID: 0000-0002-8223-6900

Библиографические ссылки

Список литературы

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука. 1966.

Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., Наука. 1981.

Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. М., Наука. 2006.

Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., Изд.-во МГУ. 1988.

Кальменов Т.Ш. О регулярных краевых задачах и их спектре для уравнений гиперболического и смешанного типа. Автореф. дисс. док. физ.-мат. наук. М., МГУ. 1982.

Пономарев С.М. К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. ДАН СССР. 1977; 233, 39–40.

Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнения смешанного типа со спектральным параметром, Ташкент, ФАН. 1977.

Сабитов К.Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром. Дифференциальные уравнения. 1986; 22(11): 1977–1984.

Пономарев С.М. Некоторые теоремы единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Дифференциальные уравнения. 2021: 57(4): 488–495.

Моисеев Е.И., Нефедов П.Х., Холомеева А.А. Аналоги задач Трикоми и Франкля в трехмерных областях для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Дифференциальные уравнения. 2014; 50(12): 1672–1675.

Алдашев С.А. Спектральная задача Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева – Бицадзе. Известия НАН РК, серия “Физико-математические науки”. 2010, 6: 3–6.

Алдашев С.А. Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева – Бицадзе. Известия ВУЗов, математика. 2011; 4: 3–7.

Алдашев С.А. Собственные значения и собственные функции задач Геллерстедта для многомерного уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Украинский математический журнал. 2011; 63(6): 827–832.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука. 1965.

Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2, М., Наука. 1974.

Алдашев С.А. Корректность смешанной задачи для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором. Украинский математический журнал. 2017; 69(7): 992–999.

Алдашев С.А. Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Мат-лы науч. конф. «Уфимская осенняя математическая школа», ч.2, Уфа, 8–9. 2020.

References

Tikhonov AN, Samarskiy AA. Uravneniya matematicheskoy fiziki. [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka. 1966.

Bitsadze AV. Nekotorye klassy uravneniy v chastnykh proizvodnykh. [Some classes of partial differential equations]. Moscow, Nauka. 1981.

Nakhushev AM. Zadachi so smeshcheniem dlya uravneniya v chastnykh proizvodnykh. [Shift problems for partial differential equations.] Moscow, Nauka. 2006.

Moiseev EI. Uravneniya smeshannogo tipa so spektralnym parametrom. [Mixed type equations with a spectral parameter.] Moscow, MGU. 1988.

Kalmenov TSh. O regulyarnykh kraevykh zadachakh i ikh spektre dlya uravneniy giperbolicheskogo i smeshannogo tipa. [On regular boundary value problems and their spectrum for equations of hyperbolic and mixed type.] Avtoref. diss. dok. fiz.-mat. nauk. Moscow, MGU. 1982.

Ponomarev SM. K zadache na sobstvennye znacheniya dlya uravneniya Lavrenteva – Bitsadze. [On the eigenvalue problem for the Lavrentiev – Bitsadze equation.] DAN SSSR. 1977; 233, 39–40.

Salakhitdinov MS, Urinov AK. Kraevye zadachi dlya uravneniya smeshannogo tipa so spektral’nym parametrom. [Boundary value problems for a mixed-type equation with a spectral parameter.] Tashkent, FAN. 1977.

Sabitov KB. O zadache Trikomi dlya uravneniya Lavrent’eva-Bitsadze so spektral’nym parametrom. [On the Tricomi problem for the Lavrentiev-Bitsadze equation with a spectral parameter.] Differential equations. 1986; 22(11): 1977–1984.

Ponomarev SM. Nekotorye teoremy edinstvennosti resheniya zadachi Gellerstedta dlya uravneniya Lavrent’eva-Bitsadze. [Some theorems on the uniqueness of the solution of the Gallerstedt problem for the Lavrentiev-Bitsadze equation.] Differentsialnye uravneniya. [Differential equations]. 2021; 57(4): 488–495.

Moiseev EI., Nefedov PKh., Kholomeeva A.A. Analogues of the Tricomi and Frankl problems in three-dimensional domains for the Lavrentiev-Bitsadze equation. Differentsialnye uravneniya. [Differential equations]. 2014; 50(12): 1672–1675.

Aldashev SA. Spektral’naya zadacha Dirikhle v tsilindricheskoy oblasti dlya mnogomernogo uravneniya Lavrent’eva – Bitsadze. [Spectral problem of Dirikhle in the tsilindricheskoy region for multidimensional equation Lavrenteva – Bitsadze.] Izvestiya NAN RK, seria “Fiziko-matematicheskie nauki”. 2010; 6: 3–6.

Aldashev SA. Kriteriy odnoznachnoy razreshimosti spektral’noy zadachi Dirikhle v tsilindricheskoy oblasti dlya mnogomernogo uravneniya Lavrent’eva – Bitsadze. [A criterion for the unique solvability of the Dirichlet spectral problem in a cylindrical domain for the multidimensional Lavrentiev-Bitsadze equation.] Izvestiya VUZov, matematika. 2011; 4: 3–7.

Aldashev SA. Eigenvalues and eigenfunctions of the Gellerstedt problems for the multidimensional Lavrentiev-Bitsadze equation. Ukrainskiy matematicheskiy zhurnal. [Ukrainian mathematical journal]. 2011; 63(6): 827–832.

Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsialnym uravneniyam. [Handbook of ordinary differential equations.] Moscow: Nauka; 1965.

Beytmen G, Erdeyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii. [Higher transcendental functions]. Vol. 2. Moscow: Nauka; 1974.

Aldashev SA. Well-posedness of a mixed problem for multidimensional hyperbolic equations with a wave operator. Ukrainskiy matematicheskiy zhurnal. [Ukrainian mathematical journal]. 2017; 69(7): 992–999.

Aldashev SA. Kriteriy odnoznachnoy razreshimosti spektral’noy zadachi dlya mnogomernogo uravneniya Lavrent’eva-Bitsadze. [A criterion for the unique solvability of the spectral problem for the multidimensional Lavrentiev-Bitsadze equation.] Proc. sci. conf. "Ufa Autumn Mathematical School”, part 2, Ufa, 8–9. 2020.