Criterion for Unique Solvability of the Spectral Mixed Problem for the Multidimensional Lavrentiev – Bitsadze Equation
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2025-57-1-5-10Keywords:
Criterion, Spectral Mixed Problem, Eigenvalues, Eigenfunctions, Spherical FunctionsAbstract
Multidimensional hyperbolic-elliptic equations describe important physical, astronomical, and geometric processes. It is known that vibrations of elastic membranes in space according to Hamilton’s principle can be modeled by a multidimensional wave equation. Assuming that the membrane is in equilibrium in the bending position, we also obtain the multidimensional Laplace equation fromHamilton’s principle. Thus, vibrations of elastic membranes in space can bemodeled as a multidimensional Lavrent’ev-Bitsadze equation. The theory of boundary value problems for hyperbolic-elliptic equations on a plane is wellexplored, and their multidimensional analogues are intensively analyzed. Two-dimensional spectral problems for equations of hyperbolic-elliptic type have been well researched, but their multidimensional analogues have been relatively under-studied. In this paper, we consider the spectral mixed problem for the multidimensional Lavrent’ev-Bitsadze equation and establish a criterion for its unique solvability. We also determine the eigenvalues and the corresponding eigenfunctions of this problem.
Downloads
References
Список литературы
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука. 1966.
Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., Наука. 1981.
Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. М., Наука. 2006.
Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., Изд.-во МГУ. 1988.
Кальменов Т.Ш. О регулярных краевых задачах и их спектре для уравнений гиперболического и смешанного типа. Автореф. дисс. док. физ.-мат. наук. М., МГУ. 1982.
Пономарев С.М. К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. ДАН СССР. 1977; 233, 39–40.
Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнения смешанного типа со спектральным параметром, Ташкент, ФАН. 1977.
Сабитов К.Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром. Дифференциальные уравнения. 1986; 22(11): 1977–1984.
Пономарев С.М. Некоторые теоремы единственности решения задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Дифференциальные уравнения. 2021: 57(4): 488–495.
Моисеев Е.И., Нефедов П.Х., Холомеева А.А. Аналоги задач Трикоми и Франкля в трехмерных областях для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Дифференциальные уравнения. 2014; 50(12): 1672–1675.
Алдашев С.А. Спектральная задача Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева – Бицадзе. Известия НАН РК, серия “Физико-математические науки”. 2010, 6: 3–6.
Алдашев С.А. Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева – Бицадзе. Известия ВУЗов, математика. 2011; 4: 3–7.
Алдашев С.А. Собственные значения и собственные функции задач Геллерстедта для многомерного уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Украинский математический журнал. 2011; 63(6): 827–832.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука. 1965.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2, М., Наука. 1974.
Алдашев С.А. Корректность смешанной задачи для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором. Украинский математический журнал. 2017; 69(7): 992–999.
Алдашев С.А. Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Мат-лы науч. конф. «Уфимская осенняя математическая школа», ч.2, Уфа, 8–9. 2020.
References
Tikhonov AN, Samarskiy AA. Uravneniya matematicheskoy fiziki. [Equations of mathematical physics]. Moscow, Nauka. 1966.
Bitsadze AV. Nekotorye klassy uravneniy v chastnykh proizvodnykh. [Some classes of partial differential equations]. Moscow, Nauka. 1981.
Nakhushev AM. Zadachi so smeshcheniem dlya uravneniya v chastnykh proizvodnykh. [Shift problems for partial differential equations.] Moscow, Nauka. 2006.
Moiseev EI. Uravneniya smeshannogo tipa so spektralnym parametrom. [Mixed type equations with a spectral parameter.] Moscow, MGU. 1988.
Kalmenov TSh. O regulyarnykh kraevykh zadachakh i ikh spektre dlya uravneniy giperbolicheskogo i smeshannogo tipa. [On regular boundary value problems and their spectrum for equations of hyperbolic and mixed type.] Avtoref. diss. dok. fiz.-mat. nauk. Moscow, MGU. 1982.
Ponomarev SM. K zadache na sobstvennye znacheniya dlya uravneniya Lavrenteva – Bitsadze. [On the eigenvalue problem for the Lavrentiev – Bitsadze equation.] DAN SSSR. 1977; 233, 39–40.
Salakhitdinov MS, Urinov AK. Kraevye zadachi dlya uravneniya smeshannogo tipa so spektral’nym parametrom. [Boundary value problems for a mixed-type equation with a spectral parameter.] Tashkent, FAN. 1977.
Sabitov KB. O zadache Trikomi dlya uravneniya Lavrent’eva-Bitsadze so spektral’nym parametrom. [On the Tricomi problem for the Lavrentiev-Bitsadze equation with a spectral parameter.] Differential equations. 1986; 22(11): 1977–1984.
Ponomarev SM. Nekotorye teoremy edinstvennosti resheniya zadachi Gellerstedta dlya uravneniya Lavrent’eva-Bitsadze. [Some theorems on the uniqueness of the solution of the Gallerstedt problem for the Lavrentiev-Bitsadze equation.] Differentsialnye uravneniya. [Differential equations]. 2021; 57(4): 488–495.
Moiseev EI., Nefedov PKh., Kholomeeva A.A. Analogues of the Tricomi and Frankl problems in three-dimensional domains for the Lavrentiev-Bitsadze equation. Differentsialnye uravneniya. [Differential equations]. 2014; 50(12): 1672–1675.
Aldashev SA. Spektral’naya zadacha Dirikhle v tsilindricheskoy oblasti dlya mnogomernogo uravneniya Lavrent’eva – Bitsadze. [Spectral problem of Dirikhle in the tsilindricheskoy region for multidimensional equation Lavrenteva – Bitsadze.] Izvestiya NAN RK, seria “Fiziko-matematicheskie nauki”. 2010; 6: 3–6.
Aldashev SA. Kriteriy odnoznachnoy razreshimosti spektral’noy zadachi Dirikhle v tsilindricheskoy oblasti dlya mnogomernogo uravneniya Lavrent’eva – Bitsadze. [A criterion for the unique solvability of the Dirichlet spectral problem in a cylindrical domain for the multidimensional Lavrentiev-Bitsadze equation.] Izvestiya VUZov, matematika. 2011; 4: 3–7.
Aldashev SA. Eigenvalues and eigenfunctions of the Gellerstedt problems for the multidimensional Lavrentiev-Bitsadze equation. Ukrainskiy matematicheskiy zhurnal. [Ukrainian mathematical journal]. 2011; 63(6): 827–832.
Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsialnym uravneniyam. [Handbook of ordinary differential equations.] Moscow: Nauka; 1965.
Beytmen G, Erdeyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii. [Higher transcendental functions]. Vol. 2. Moscow: Nauka; 1974.
Aldashev SA. Well-posedness of a mixed problem for multidimensional hyperbolic equations with a wave operator. Ukrainskiy matematicheskiy zhurnal. [Ukrainian mathematical journal]. 2017; 69(7): 992–999.
Aldashev SA. Kriteriy odnoznachnoy razreshimosti spektral’noy zadachi dlya mnogomernogo uravneniya Lavrent’eva-Bitsadze. [A criterion for the unique solvability of the spectral problem for the multidimensional Lavrentiev-Bitsadze equation.] Proc. sci. conf. "Ufa Autumn Mathematical School”, part 2, Ufa, 8–9. 2020.
Abstract views: 100
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2025 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
