Численный метод решения уравнения  «реакция-диффузия»

Ольга Павловна Барабаш

doi:10.52575/2687-0959-2025-57-1-52-58

Авторы

Ольга Павловна Барабаш Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина»

DOI:

https://doi.org/10.52575/2687-0959-2025-57-1-52-58

Ключевые слова:

уравнение «реакция – диффузия», уравнение Фишера, уравнение КПП, разностная схема, схема с весами, конечно-разностная аппроксимация, вычислительный эксперимент

Аннотация

В работе рассматривается квазилинейное уравнение «реакция – диффузия», более известное как уравнение Колмогорова – Петровского – Пискунова – Фишера. Для численного решения начально-краевой задачи с данным уравнением была построена двухслойная разностная схема с весами, имеющая порядок аппроксимации O(h2 + τ). Используемая схема позволила свести задачу поиска решения нелинейного уравнения к решению системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки. Приведены результаты численной реализации схемы на нескольких модельных примерах с точным решением типа «бегущей волны». Демонстрируемые расчеты показали высокую точность предложенной разностной схемы.

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Биография автора

Ольга Павловна Барабаш, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина»

Барабаш Ольга Павловна
преподаватель кафедры математики и информатики, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина»,
г. Воронеж, Россия
E-mail: navyS9@yandex.ru
ORCID: 0009-0006-6376-3015

Библиографические ссылки

Список литературы

Колмогоров А.Н. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюллетень МГУ, Серия А, Математика и механика.1937;1(64):1–16.

Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes.The Annals of Human Genetics. 1937;7:355–369.

Hotelling Н. A mathematical theory of migration. Environ Plan A. 1978;10(11):1223–1239.

Мешков В.З., Половинкин И.П., Семенов М.Е. Об устойчивости стационарного решения уравнения Хотеллинга. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002;9(1):226–227.

Danilov V.G., Maslov V.P., Volosov V.P. Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes. Dordrecht: Kluwer; 1995. 323 p.

Кудряшов Н.А. О точных решениях уравнений семейства Фишера. Теоретическая и математическая физика. 1993;2(94):296–306.

Matus P.P., Hieu L.M., Vulkov L.G. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2017;300:186–199.

Matus P.P. Stability of Difference Schemes for Nonlinear Time-dependent Problems. Computational Methods in Applied Mathematics. 2003;3(2):313–329.

Матус П.П., Утебаев Б.Д. Монотонные разностные схемы повышенного порядка точности для параболических уравнений. Доклады Национальной академии наук Беларуси. 2020;64(4):391–398.

Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971. 553 с.

Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука. Физматлит. 1989. 432 с.

Barabash O.P., Polovinkina M.V., Polovinkin I.P., Zhadanova M.L. On a difference scheme for the Growth-Propagation Equation. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023;44(3):989–992.

Ильина К.П. Эффективный численный метод решения задачи Фишера – Колмогорова – Петровского – Пискунова. Международный научно-исследовательский журнал. 2023;3(129).

References

Kolmogorov AN. Issledovanie uravneniya diffuzii, soedinennoj s vozrastaniem veshchestva, i ego primenenie k odnoj biologicheskoj probleme [Investigation of the Equation of Diffusion Combined with Increasing of the Substance and Its Application to a Biology Problem]. Byul. MGU. Ser. A. Matematika i mekhanika [Bulletin of Moscow State University Series A: Mathematics and Mechanics]. 1937;1(64):1–16.

Fisher RA. The wave of advance of advantageous genes. The Annals of Human Genetics. 1937;7:355–369.

Hotelling Н. A mathematical theory of migration. Environ Plan A. 1978;10(11):1223–1239.

Meshkov VZ, Polovinkin IP, Semenov ME. On the stability of a stationary solution of the Hotelling equation. Applied and Industrial Mathematics Review. 2002;9(1):226–227. (In Russ.)

Danilov VG, Maslov VP, Volosov VP. Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes. Dordrecht: Kluwer; 1995. 323 p.

Kudriashov NA. On exact solutions of the Fisher family equations.Theoretical and Mathematical Physics. 1993;2(94):296–306. (In Russ.)

Matus PP., Hieu LM., Vulkov LG. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2017;300:186–199.

Matus PP. Stability of Difference Schemes for Nonlinear Time-dependent Problems.Computational Methods in Applied Mathematics. 2003;3(2):313–329.

Matus PP, Utebaev BD. Monotonnye raznostnye skhemy povyshennogo poryadka tochnosti dlya parabolicheskih uravnenij [Monotone difference schemes of higher accuracy for parabolic equations]. Dokl. Nacional’noj akademii nauk Belarusi [Reports of the National Academy of Sciences of Belarus]. 2020;64(4):391–398.

Samarskii AA. Vvedenie v teoriiu raznostnykh skhem [Introduction to the theory of difference schemes]. M.: Nauka; 1971. 553 p.

Samarskii AA., Gulin AB.. Chislennye metody [Numerical methods]. M. : Nauka. Fizmatlit; 1989. 432 p.

Barabash OP., Polovinkina MV., Polovinkin IP., Zhadanova ML. On a difference scheme for the Growth-Propagation Equation. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023;44(3):989–992.

Ilina KP. An effective numerical method for solving the Fischer – Kolmogorov – Petrovsky – Piskunov Problem. Mezhdunarodnyi nauchno-issledovatelskii zhurnal. 2023;3(129).