Приближенное решение линейного дифференциального уравнения с нормальным оператором

Мария Николаевна Орешина

doi:10.52575/2687-0959-2024-56-4-286-295

Авторы

Мария Николаевна Орешина Липецкий государственный технический университет https://orcid.org/0000-0002-8926-8032

DOI:

https://doi.org/10.52575/2687-0959-2024-56-4-286-295

Ключевые слова:

спектральный метод, нормальный оператор, операторная экспонента, рациональная функция от оператора, аппроксимация Паде, оценки погрешности

Аннотация

В гильбертовом пространстве рассматривается задача Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка, в котором коэффициент при неизвестной функции является неограниченным нормальным оператором. Точное решение такой задачи выражается через операторную экспоненту. Предлагается спектральный метод построения приближенного решения, основанный на вычислении линейной комбинации значений резольвенты оператора в различных точках его резольвентного множества. Для этого берется скалярная рациональная функция, приближающая экспоненту на спектре оператора, полученная рациональная функция раскладывается в сумму элементарных дробей, и затем в нее подставляется оператор. Доказаны теоремы об оценке абсолютной и относительной точности приближения. Приводятся результаты численных экспериментов.

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Биография автора

Мария Николаевна Орешина, Липецкий государственный технический университет

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики, Липецкий государственный технический университет,
г. Липецк, Россия
E-mail: m_oreshina@mail.ru
ORCID: 0000-0002-8926-8032

Библиографические ссылки

Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир; 1975. 444 с.

Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. М: МЦНМО; 2004. 552 с.

Орешина М.Н. Спектральное разложение нормального оператора в действительном гильбертовом пространстве. Уфимский математический журнал. 2017;9(4):87–99. English translation: Spectral decomposition of normal operator in real Hilbert space. Ufa Mathematical Journal. 2017;9(4):85–96. DOI: 10.13108/2017-9-4-85

Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М.: Мир; 1988. 352 c.

Разгулин А.В. Весовая оценка скорости сходимости проекционно-разностной схемы для параболического уравнения и ее применение для аппроксимации задачи управления начальными данными. Журнал вычислительной математики и математической физики; 2010;50(6):1023–1037.

Макаренков А.М., Серегина Е.В., Степович М.А. Проекционный метод Галеркина решения стационарного дифференциального уравнения диффузии в полубесконечной области. Журнал вычислительной математики и математической физики 2017;57(5):801–813.

Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука; 1977. 440 с.

Дробышевич В.И., Каткова Л.Н. Метод Кранка–Николсон с различными временными шагами в подобластях для решения параболических задач. Сибирский журнал вычислительной математики. 2001;4(2):137–150.

Смагин В.В. Среднеквадратичные оценки погрешности проекционно-разностного метода для параболических уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики 2000;40(6):908–919.

Орешина М.Н. Приближённое решение параболического уравнения с использованием рациональной аппроксимации операторной экспоненты. Дифференциальные уравнения. 2017;53(3):407–417. English translation: Approximate solution of a parabolic equation with the use of a rational approximation to the operator exponential. Differential Equations. 2017;53(3):398–408. DOI: 10.1134/S0012266117030107

Oreshina M.N. A spectral method for approximate solving a second-order linear differential equation. Journal of Physics: Conference Series 2018;973(1):012057. DOI: 10.1088/1742-6596/973/1/012057

Oreshina M.N. Spectral method for approximate solving of linear differential equations with self-adjoint coefficients. 2nd International Conference on Control Systems, Mathematical Modeling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA) 2020;9280753:125–127. DOI: 10.1109/SUMMA50634.2020.9280753

Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир; 1986. 502 с.

Аптекарев А.И., Буслаев В.И., Мартинес-Финкельштейн А., Суетин С.П. Аппроксимации Паде, непрерывные дроби и ортогональные многочлены. Успехи математических наук. 2011;66(6):37–122. English translation: Pad´e approximants, continued fractions, and orthogonal polynomials. Russian Math. Surveys. 2011;66(6):1049–1131. DOI: 10.1070/RM2011v066n06ABEH004770

Carpenter A.J., Ruttan A., Varga R.S. Extended numerical computations on the "1/9"conjecture in rational аpproximation theory. Rational Approximation and Interpolation. Series: Lecture notes in mathematics. 1983;1105:383-411.