Approximate Solution of a Linear Differential Equation with a Normal Operator
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2024-56-4-286-295Keywords:
Spectral Method, Normal Operator, Operator Exponential, Rational Function of Operator, Pade Approximation, Error EstimatesAbstract
In a Hilbert space, we consider the Cauchy problem for a first-order linear differential equation. The coefficient at the unknown function in the equation is an unbounded normal operator. The exact solution of such a problem is expressed in terms of an operator exponential. We suggest a spectral method for constructing an approximate solution based on the calculation of some rational function of the normal operator. Namely, we take a scalar rational function approximating the exponential function on the spectrum of the operator, then we expand the obtained rational function into the sum of elementary fractions and substitute the operator into it. As a result we obtain a linear combination of values of the resolvent of the normal operator at various points of its resolvent set. Theorems on the estimation of the absolute and relative accuracy of the approximation are proved. A variant of the proposed approach for a non-homogeneous equation with a special free term is also discussed. The results of numerical experiments are presented.
Downloads
References
Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир; 1975. 444 с.
Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. М: МЦНМО; 2004. 552 с.
Орешина М.Н. Спектральное разложение нормального оператора в действительном гильбертовом пространстве. Уфимский математический журнал. 2017;9(4):87–99. English translation: Spectral decomposition of normal operator in real Hilbert space. Ufa Mathematical Journal. 2017;9(4):85–96. DOI: 10.13108/2017-9-4-85
Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М.: Мир; 1988. 352 c.
Разгулин А.В. Весовая оценка скорости сходимости проекционно-разностной схемы для параболического уравнения и ее применение для аппроксимации задачи управления начальными данными. Журнал вычислительной математики и математической физики; 2010;50(6):1023–1037.
Макаренков А.М., Серегина Е.В., Степович М.А. Проекционный метод Галеркина решения стационарного дифференциального уравнения диффузии в полубесконечной области. Журнал вычислительной математики и математической физики 2017;57(5):801–813.
Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука; 1977. 440 с.
Дробышевич В.И., Каткова Л.Н. Метод Кранка–Николсон с различными временными шагами в подобластях для решения параболических задач. Сибирский журнал вычислительной математики. 2001;4(2):137–150.
Смагин В.В. Среднеквадратичные оценки погрешности проекционно-разностного метода для параболических уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики 2000;40(6):908–919.
Орешина М.Н. Приближённое решение параболического уравнения с использованием рациональной аппроксимации операторной экспоненты. Дифференциальные уравнения. 2017;53(3):407–417. English translation: Approximate solution of a parabolic equation with the use of a rational approximation to the operator exponential. Differential Equations. 2017;53(3):398–408. DOI: 10.1134/S0012266117030107
Oreshina M.N. A spectral method for approximate solving a second-order linear differential equation. Journal of Physics: Conference Series 2018;973(1):012057. DOI: 10.1088/1742-6596/973/1/012057
Oreshina M.N. Spectral method for approximate solving of linear differential equations with self-adjoint coefficients. 2nd International Conference on Control Systems, Mathematical Modeling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA) 2020;9280753:125–127. DOI: 10.1109/SUMMA50634.2020.9280753
Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир; 1986. 502 с.
Аптекарев А.И., Буслаев В.И., Мартинес-Финкельштейн А., Суетин С.П. Аппроксимации Паде, непрерывные дроби и ортогональные многочлены. Успехи математических наук. 2011;66(6):37–122. English translation: Pad´e approximants, continued fractions, and orthogonal polynomials. Russian Math. Surveys. 2011;66(6):1049–1131. DOI: 10.1070/RM2011v066n06ABEH004770
Carpenter A.J., Ruttan A., Varga R.S. Extended numerical computations on the "1/9"conjecture in rational аpproximation theory. Rational Approximation and Interpolation. Series: Lecture notes in mathematics. 1983;1105:383-411.
Abstract views: 0
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2024 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
