On Bifurcation of Separatrix Contours of Planar Vector Fieds with Involutive Symmetry
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2024-56-1-5-12Keywords:
Planar Vector Field, Dynamical System, Saddle-node, Saddle, Separatrix Contour, Limit Cycle, Bifurcation DiagramAbstract
We consider a two-parameter family of vector fields in the plane with symmetry about the x-axis. It is assumed that at zero values of the parameters, the vector field has a saddle-node with a negative eigenvalue of the matrix of the linear part of the field and a rough saddle lying on the x-axis, as well as two symmetric contours formed by the outgoing separatrices of the saddle, coinciding with the incoming separatrices of the saddle-node. A bifurcation diagram of such a family is described – a partition of the neighborhood of zero on the parameter plane by types of phase portraits in a neighborhood of the union of these contours. In particular, it is shown that one stable rough limit cycle can be born from each contour.
Downloads
References
Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука; 1978. 304 с.
Жолондек Х.Оверсальности одного семейства симметричных векторных полей на плоскости. Математический сборник 1983;120(4):473–499.
Лерман Л.М., Тураев Д.В. О бифуркациях потери симметрии в обратимых системах. Нелинейная динамика. 2012;8(2):323–343.
Николаев Е.В. Бифуркации предельных циклов дифференциальных уравнений, допускающих инволютивную симметрию. Математический сборник. 1995;186(4):143–160.
Ройтенберг В.Ш. Бифуркации полицикла, образованного двумя петлями сепаратрис негрубого седла динамической системы с центральной симметрией. Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия .Математика, Механика Физика.. 2021;13(3):39–46.
Шноль Э.Э. Правильные многогранники и бифуркации симметричных положений равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений. Математический сборник. 2000;191(8): 141–157.
Golubitsky M., Shaeffer D., Stewart I. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Springer-Verlag. 1988.
Roitenberg V.Sh. Bifurcations of a polycycle formed by separatrices of saddles of a dynamical system with central symmetry. Дифференциальные уравнения, математическое моделирование и вычислительные алгоритмы: сборник материалов международной конференции, Белгород, 25–29 октября 2021 г. под ред. В.Б. Васильева, И.С. Ломова. Белгород, ИД .БелГУ. НИУ .БелГУ. 2021.:311–312.
Takens F. Singularities of vector fields. Publ. Math. IHES. 1974; 43:47-100.
Ройтенберг В.Ш. Нелокальные двухпараметрические бифуркации векторных полей на поверхностях. Дис. . . . канд. физ.-мат. наук. 01.01.02. Ярославль. 2000. 187 с.
Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. Москва–Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2009. 416 c.
Палис Ж., Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. Пер. с англ. М., Мир. 1986. 301 с.
Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. Москва–Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2004. 547 c.
Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука; 1967. 488 с.
Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука; 1966. 568 с.
Abstract views: 79
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2024 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
