On the stratification and topological structure of classical compact Lie groups
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2023-55-3-207-219Keywords:
homotopy group, homology group, exclusive matrix, non-exclusive matrix, Cayley transform, stratum, stratificationAbstract
The authors realize the stratification of classical connected compact Lie groups. The stratum of the maximal dimension of any such Lie group is a diffeomorphic image of its Lie algebra with respect to the Cayley transform, consisting exactly of all matrices admitting the (inverse) Cayley transform. The further stratification is applied to the subset of exclusive matrices of the Lie group, i. e. the subset of all matrices that do not admit the Cayley transform. The main attention is paid to the Lie groups of unitary matrices. As a consequence, the authors obtained a description of topological structure for the sets of exclusive unitary operators in two-dimensional and three-dimensional complex vector spaces; the first of these sets is realized by physicists as the conformal infinity of the Minkowski space. The stratification of unitary groups uses actions of their Weyl groups on maximal tori and special homogeneous spaces with geometric structures, orbits of canonical unitary matrices with respect to the action of unitary groups by conjugations.
Downloads
References
Адамс Дж. 1979. Лекции по группам Ли. М., Наука, 144.
Берестовский В. Н. 2023. Введение к хронометрической теории Сигала. Математические труды (принято к печати). 19.
Бессе А. 1990. Многообразия Эйнштейна. Том I. М., Мир, 320.
Васильев В. А. 1991. Геометрическая реализация гомологий классических групп Ли и комплексы, S-двойственные к флаговым многообразиям. Алгебра и анализ, 3(4): 113–120.
Веселов А. П., Дынников И. А. 1996. Интегрируемые градиентные потоки и теория Морса. Алгебра и анализ, 8(3): 78–103.
Винберг Э. Б., Онищик А. Л. 1988. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М., Наука, 344.
Гийу Л., Марен А. 1989. В поисках утраченной топологии. М., Мир, 293.
Пенроуз Р., Риндлер В. 1988. Спиноры и пространство-время. Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. М., Мир, Т. 2, 573.
Понтрягин Л. С. 1988. Гомологии в компактных группах Ли. В книге: Л. С. Понтрягин. Избранные научные труды. Том 1. Топология. Топологическая алгебра. М., Наука, 170–208 (перевод с английского оригинала).
Понтрягин Л. С. 1988. О топологической структуре групп Ли. В книге: Л. С. Понтрягин. Избранные научные труды. Том 1. Топология. Топологическая алгебра. М., Наука, 209–214 (перевод с немецкого оригинала).
Понтрягин Л. С. 1988. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. В книге: Л. С. Понтрягин. Избранные научные труды. Том 1. Топология. Топологическая алгебра. М., Наука, 548–677.
Постников М. М. 1982. Группы и алгебры Ли (Лекции по геометрии, Семестр V). М., Наука, 480.
Прасолов В. В. 2004. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М., МЦНМО, 352.
Свитцер Р. М. 1985. Алгебраическая топология, Гомотопии и гомологии. М., Наука, 600.
Тода Х. 1982. Композиционные методы в теории гомотопических групп сфер. М., Наука, 224.
Хелгасон С. 2005. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. М., Факториал, 608.
Abiev N. A., Nikonorov Yu. G. 2016. The evolution of positively curved invariant Riemannian metrics on the Wallach spaces under the Ricci flow. Ann. Glob. Anal. Geom., 50(1): 65–84. DOI: 10.1007/s10455-016-9502-8
Berestovskii V. N., Nikonorov Yu. G. 2020. Riemannian Manifolds and Homogeneous Geodesics. Springer Monographs in Mathematics. Springer Nature Switzerland AG. Cham, 482. DOI: 10.1007/978-3-030-56658-6
Borel A. 1954. K¨ahlerian coset spaces of semisimple Lie groups. Proc. of Natl. Academy of Scinces, 44: 1147–1151. DOI: 10.1073/pnas.40.12.1147
Bott R. 1959. The stable homotopy of the classical groups. Ann. of Math. 70: 313–337. DOI: 10.2307/1970106
Coleman A. J. 1958. The Betti numbers of the simple Lie groups. Can. J. Math. 10: 349–356.
Jadczyk A. 2011. On Conformal Infinity and Compactifications of Minkowski Space. Adv. Appl. Clifford Algebras. 21: 721–756. DOI: 10.1007/s00006-011-0285-5
Jadczyk A. 2012. Conformally Compactified Minkowski Space: Myths and Facts. Prespacetime Journal. 3(2): 131–140.
Kervaire M. A. 1960. Some non-stable homotopy groups of Lie groups. Illinois Jour. of Math. 4: 161–169.
Matsunaga H. 1961. The homotopy groups π2n+i(U (n)) for i = 3, 4 and 5. Mem. of Fac. of Sci. Kyushu Univ., Ser. A, 15(1): 72–81. DOI: 10.2206/kyushumfs.15.72
Mimura M., Toda H. 1991. Topology of Lie groups, I and II. Translations of Mathematical Monographs. 91. Providence, RI: American Mathematical Society, 451.
Paneitz S. M., Segal I. E. 1982. Analysis in Space-Time Bundles I. General Considerations and the Scalar Bundle. J. Funct. Anal. 47: 78–142. DOI: 10.1016/0022-1236(82)90101-X
Toda H. 1959. A topological proof of theorems of Bott and Borel-Hirzebruch for homotopy groups of unitary groups. Mem. of Coll. Univ. Kyoto. 32: 103–119. DOI: 10.1215/kjm/1250776701
Wallach N. R. 1972. Compact homogeneous Riemannian manifolds with strictly positive curvature. Ann. Math. Second Ser. 96: 277–295. DOI: 10.2307/1970789
Yokota I. 1956. On the cellular decompositions of unitary groups. J. Inst. Polytechn., Osaka City Univ., Ser. A. 7(1-2): 39–49.
Abstract views: 82
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2023 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
