A New Algorithm of Constructing Asymptotic Solution of Singularly Perturbed Optimal Control Problems with Intersecting Trajectories of Degenerate State Equation
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2023-55-4-313-329Keywords:
Optimal Control, Singular Perturbations, Critical CaseAbstract
The paper deals with a new method of constructing asymptotic approximations of any order to a solution of a two-point boundary value problem following from control optimality conditions for singularly perturbed optimal control problems with a weak control in a critical case. Namely, differential state equations contain a small parameter before a derivative for fast variables. If this parameter is equal to zero, then the degenerate state equation for the fast variable has two different solutions with respect to this fast variable and some corresponding trajectories for slow variables intersect each other at one internal point. The asymptotics contains regular functions, depending on the original argument, and boundary functions of four types, two of them are essential in a vicinity of the intersection point. The suggested new method of asymptotics construction is based on solving equations with a fixed value in the initial point or in the end point of the considered interval for the independent variable. Solutions of boundary value problems are not used.
Acknowledgements
The work of Galina Kurina was supported by the Russian Science Foundation, Project No. 21-11-00202.
Downloads
References
Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука; 1973. 272 с.
Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука; 1989. 336 с.
Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука; 1981. 400 с.
Boglaev I.P., Sirotkin V.V. Computational method for a singular perturbation via domain decomposition and its parallel implementation. Applied Mathematics and Computation. 1993;56(1):71–95. https://doi.org/10.1016/0096-3003(93)90080-X
Kadalbajoo M.K., Gupta V. A brief survey on numerical methods for solving singularly perturbed problems. Applied Mathematics and Computation. 2010;217(8):3641–3716. https://doi.org/10.1016/j.amc.2010.09.059
Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления. Автоматика и телемеханика. 2006;(1):3–51.
Курина Г.А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор. Известия Российской академии наук. Техническая кибернетика. 1992;(4):20–48.
Zhang Y., Naidu D.S., Cai C., Zou Y. Singular perturbations and time scales in control theories and applications: an overview 2002–2012. International Journal of Information and Systems Sciences. 2014;9(1):1–36.
Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Издательство Московского университета; 1978. 107 с.
Данилин А.Р., Коврижных О.О. Асимптотика решения одной задачи быстродействия с неограниченным целевым множеством для линейной системы в критическом случае. Труды Института математики и механики УрО РАН. 2022;28(1):58–73. http://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-1-58-73
Kurina G., Nguyen T.H. Zero-order asymptotic solution of a class of singularly perturbed linear-quadratic problems with weak controls in a critical case. Optimal ControlApplications and Methods. 2019;40(5):859-879. https://doi.org/10.1002/oca.2514
Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н., Шнайдер К.Р. Сингулярно возмущенные задачи в случае смены устойчивости. Итоги науки и техники. Серия: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2002;109:5-242.
Nefedov N.N., Schneider K.R. Immediate exchange of stabilities in singularly perturbed systems. Differential and Integral Equations. 1999;12(4):583–599. https://doi.org/10.57262/die/1367267008
Васильева А.Б., Нефёдов Н.Н., Радченко И.В. О внутреннем переходном слое в сингулярно возмущенной начальной задаче. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996;36(9):105–111.
Ильин А.М., Долбеева С.Ф. Асимптотика решения дифференциального уравнения с малым параметром в случае двух решений предельного уравнения. Труды Института математики и механики УрО РАН. 2006;12(1):98–108.
Kurina G., Hoai N.T. First asymptotic approximations to a solution of singularly perturbed optimal control problem with intersecting solutions of degenerate problem. Applied Mathematics and Computation. 2017;292:356–374. https://doi.org/10.1016/j.amc.2016.07.038
Kurina G., Hoai N.T. Higher order asymptotic approximation to a solution of singularly perturbed optimal control problem with intersecting solutions of the degenerate problem. 2019 23rd International Conference on System Theory, Control and Computing (ICSTCC). 2019;727–732. https://doi.org/10.1109/ICSTCC.2019.8885991
Васильева А.Б., Дмитриев М.Г., Ни Минь Кань. О контрастной структуре типа ступеньки для задачи вариационного исчисления. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004;44(7):1271–1280.
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука; 1979. 432 с.
Никольский М.С. О достаточности принципа максимума Понтрягина в некоторых оптимизационных задачах. Вестник Московского университета Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005;(1):35–43.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, Физматлит; 1965. 424 с.
Abstract views: 85
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2023 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
