The Problem with Steklov Conditions for Fourth Order Partial Differential Equation and Criteria for Uniqueness of its Solution
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2026-58-1-22-28Keywords:
Fourth Order Partial Differential Equation, Nonlocal Problem, Steklov Conditions, Criteria of UniquenessAbstract
In this article, we consider the initial-boundary problem for fourth order partial differential equation with nonlocal boundary conditions. Our attention is focused on the equation that one may interpret as generalization of Boussinesque – Love equation. Nonlocal conditions here are relations between the values of required solution and its derivatives with respect to spacial variable in different boundary points. Such nonlocal conditions are known as Steklov conditions. Earlier nonlocal problems with Steklov conditions were considered for second order partial differential equations. First, such problem was stated for the one-dimensional heat equation in connection with study of the process of cooling of a bar. Later it was noted that the nonlocal problem with Steklov conditions is closely related to the problem of longitudinal vibration of a thik short bar if we take into account the transverse deformation. The mathematical model of longitudinal vibration of a thik short bar considering the effect of transverse movements is called Rayleigh bar and is based on Boussinesque – Love equation.
Downloads
References
Список литературы
Федотов И.А., Полянин А.Д., Шаталов М.Ю. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея. Доклады академии наук. 2007;417(1):1–7.
Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела. Сообщения Харьковского математического общества. Серия 2. 1896;5(3):136–181.
Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. Дифференциальные уравнения. 1977;13(2):294–304.
Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями. Дифференциальные уравнения. 1979;15(7):1284–1295.
Пулькина Л.С. Об одной краевой задаче со смещением для гиперболического уравнения. Тезисы докладов международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева. 2008;194–195.
Кожанов А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных задач для линейных параболических уравнений. Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2008;3(62):165–174.
Лажетич Н.Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения. 2006;42(8):1072–1077.
Пулькина Л.С., Дюжева А.В. Нелокальная задача с переменными по времени краевыми условиями Стеклова для гиперболического уравнения. Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010;4(78):56–64.
Дюжева А.В. Задача с условиями Стеклова для уравнения гиперболического типа. Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. 2021;198:50–60.
Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями 1 и 2-го рода. Известия вузов. Математика. 2012;4:74–83.
Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. Москва: Издательство Иностранной литературы; 1961. 120 с.
References
Fedotov IA., Polyanin AD., Shatalov MYu. Theory of free forced vibrations of a rigid rod based on the Rayleigh model. Doklady Physics. 2007;417(1):1–7. (In Russ).
Steklov VA. Zadacha ob okhlazhdenii neodnorodnogo tverdogo tela [The problem of cooling of an inhomogeneous solid body]. Soobshcheniya Kharkovskogo matematicheskogo obshchestva. Seriya 2. 1896;5(3):136–181.
Ionkin NI. Reshenie odnoi kraevoi zadachi teorii teploprovodnosti s neklassicheskim kraevym usloviem [Solution of a boundary value problem of heat conduction theory with a non-classical boundary condition.]. Differentsial’nye uravneniya [Differential Equations]. 1977;13(2):294–304.
Ionkin NI., MoiseevEI. On a problem for the heat equation with two-point boundary conditions. Differentsial’nye uravneniya [Differential Equations]. 1979;15(7):1284–1295. (In Russ).
Pulkina LS. Ob odnoi kraevoi zadache so smeshcheniem dlya giperbolicheskogo uravneniya [On a boundary value problem with a deviating argument for a hyperbolic equation]. Tezisi dokladov mezhdunarodnoi konferentsii, posvyashchennoi 100-letiyu so dnya rozhdeniya S.L. Soboleva. 2008;194–195.
Kozhanov AI. O razreshimosti nekotorikh prostranstvenno nelokalnikh zadach dlya lineinikh parabolicheskikh uravnenii [On the solvability of certain spatially nonlocal boundary-value problems for linear hyperbolic equations of second order]. Vestnik SamGU. Yestestvennonauchnaya seriya. 2008;3(62):165–174.
Lazetic NL. O klassicheskoi razreshimosti smeshannoi zadachi dlya odnomergogo giperbolicheskogo uravneniya vtorogo poryadka [On the classical solvability of a mixed problem for a one-dimensional second-order hyperbolic equation]. Differentsial’nye uravneniya [Differential Equations]. 2006;42(8):1072–1077.
Pulkina LS., Dyuzheva AV. Nonlocal problem with time-dependent Steklov’s boundary conditions for hyperbolic equation.Vestnik SamGU. Yestestvennonauchnaya seriya. 2010;4(78):56–64. (In Russ).
Dyuzheva AV. Zadacha s usloviyami Steklova dlya uravneniya giperbolicheskogo tipa [The Steklov problem for a hyperbolic-type equation]. Itogi nauki i tekhniki. Sovremennaya matematika i ee prilozheniya. 2021;198:50–60.
Pulkina LS. Boundary value problems for a hyperbolic equation with nonlocal conditions of the first and second kind. Izvestiya vuzov. Matematika [Izvestiya VUZ. Matematika]. 2012;4:74–83. (In Russ).
Gording L. The Cauchy problem for hyperbolic equations. Moscow: Izdatelstvo Inostrannoi literaturi; 1961. 120 с. (In Russ).
Abstract views: 0
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2026 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
