ON THE HISTORY OF THE NEKRASOV EQUATION
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2021-53-3-213–229Keywords:
nonlinear integral equations, Nekrasov equation, Hammerstein equation, Lyapunov-Schmidt theory, T. Levi- Civita, N. N. Nazarov, M. A. Krasnoselskii, Yu. P. Krasovskii, Voronezh School of Nonlinear Functional Analysis; Rostov School of Nonlinear Mechanics.Abstract
Appearing in 1921 as an equation for small-amplitude waves on the surface of an infinitely deep liquid, the
Nekrasov equation quickly became a source of new results. This manifested itself both in the field of mathematics (theory of nonlinear integral equations of A. I. Nekrasov; 1922, later - of N. N. Nazarov; 1941), and in the field of mechanics (transition to a fluid of finite depth – A. I. Nekrasov; 1927 and refusal on the smallness of the wave amplitude - Yu. P. Krasovskii; 1960).
The main task of the author is to find out the prehistory of the Nekrasov equation and to trace the change in approaches to its solution in the context of the nonlinear functional analysis development in the 1940s - 1960s. Close attention will be paid to the contribution of European and Russian mathematicians and mechanics: A. M. Lyapunov, E. Schmidt, T. Levi-Civita, A. Villat, L. Lichtenstein, M. A. Krasnoselskii, N. N. Moiseev, V. V. Pokornyi, etc. In the context of the development of qualitative methods for the Nekrasov equation investigating, the question of the interaction between Voronezh school of nonlinear functional analysis under the guidance of Professor M. A. Krasnoselskii and Rostov school of nonlinear mechanics under the guidance of Professor I. I. Vorovich.
Downloads
References
Ахмедов К. Т. 1957. Аналитический метод Некрасова – Назарова в нелинейном анализе. Успехи математических наук, 12:4(76): 135–153.
Бахтин И. А., Красносельский М. А. 1955. К задаче о продольном изгибе стержня переменной жёсткости. Доклады Академии наук СССР, 105(4): 621-624.
Богатов Е. М. 2020 a. Об истории положительных операторов (1900-е-1960-е гг.) и вкладе М. А. Красносельского. Научные ведмости БелГУ. Серия Прикладная математика, Физика, 52(2): 105-127.
Богатов Е. М. 2020 b. Об истории уравнения Δu=ke^u и вкладе отечественных математиков. Обозрение Промышленной и Прикладной Математики, 27(1): 67-69.
Богатов Е. М. 2021. О развитии теории нелинейных интегральных уравнений в работах А. И. Некрасова. Современные методы теории краевых задач : материалы Международ. конф. : Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения – XXXII (3–9 мая 2021 г.). ВГУ; МГУ им. М. В. Ломоносова. Воронеж : Издат. дом ВГУ, 42-45.
Богатов Е. М., Мухин Р. Р. 2015. О связи между нелинейным анализом, бифуркациями и нелинейной динамикой: на примере воронежской школы нелинейного функционального анализа. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 23(6): 74-88.
Богатов Е. М., Мухин Р. Р. 2021. О развитии нелинейных интегральных уравнений на раннем этапе и вкладе отечественных математиков. Чебышевcкий сборник, 3 ( В печати).
Вайнберг М. М., Треногин В. А. 1962. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие. Успехи математических наук, 17:2(104): 13–75.
Вайнберг М. М., Айзенгендлер П. Г. 1966. Методы исследования в теории разветвления решений. Итоги науки. Серия Математика. Математический анализ. 1965. М., ВИНИТИ, 7–69.
Волгина В. Н., Тюлина И. А. 2001. Александр Иванович Некрасов. 1883-1957. Отв. ред. В.П. Карликов. М: Наука, 102.
Ворович И. И., Хапланов М. Г. 1963. О работах ростовских математиков за последние годы. Успехи математических наук, 18:2(110) : 211–233.
Гуревич М. И. 1970. Теория струй. Механика в СССР за 50 лет. Том 2. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 5-36.
Гуревич М. И. 1979. Теория струй идеальной жидкости. Предисловие Л.И. Седова, Г.Ю. Степанова. 2-е изд., переработанное и дополненное. М. : Наука, 536.
Красносельский М. А. 1950. Исследования по нелинейному функциональному анализу. Автореферат докторской диссертации. Киев, Ин-т математики АН УССР, 1-21.
Красносельский М. А. 1956. Об уравнении Некрасова в теории волн на поверхности тяжёлой жидкости. Доклады Академии наук СССР, 109 (3) : 456-459.
Красносельский М.А. 1956 a. Топологические методы в теории интегральных уравнений. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 392.
Красносельский М. А., Крейн С. Г., Мышкис А. Д. 1957. Расширенные заседания Воронежского семинара по функциональному анализу в марте 1957 г. Успехи математических наук, 12:4(76): 241–250.
Красовский Ю. П. 1960. К теории установившихся волн немалой амплитуды. Доклады Академии наук СССР, 130(6): 1237–1240.
Красовский Ю. П. 1961. К теории установившихся волн конечной амплитуды. Журнал вычислительной математики и математической физики 1(5): 836–855.
Крейн М. Г., Рутман М. А. 1948. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. Успехи математических наук, 3:1(23) : 3–95.
Лапко А. Ф., Люстерник Л. А. 1957. Математические съезды и конференции в СССР. Успехи математических наук, 12:6(78): 47–130.
Люстерник Л. А. 1967. Молодость Московской математической школы. Успехи математических наук, 22:1(133): 137–161.
Марк Александрович Красносельский. К 80-летию со дня рождения. Сб. статей. М.: Институт проблем передачи информации РАН, 2000, 216.
Назаров Н.Н. 1941. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна. Труды Среднеазиатского гос. ун-та. Серия V-а, Математика, 33: 1-79.
Назаров Н.Н. 1945. Методы решения нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна. Труды Среднеазиатского гос. ун-та. Серия 6, физико-математические науки, 3-14.
Некрасов А. И. 1919. О волне Стокса. Известия Иваново-Вознесенского политехнического ин-та, 2: 81-89.
Некрасов А. И. 1921. О волнах установившегося вида. Известия Иваново-Вознесенского политехнического ин-та, 3: 52-65.
Некрасов А. И. 1922. О прерывном течении жидкости в двух измерениях вокруг препятствия в форме дуги круга. Известия Иваново-Вознесенского политехнического ин-та, 5: 3-19.
Некрасов А. И. 1922 a. О волнах установившегося вида на поверхности тяжёлой жидкости. Научные известия Академического центра Народного Комиссариата Просвещения. Физика, 3: 128-138.
Некрасов А. И. 1922 b. О волнах установившегося вида, гл.2. О нелинейных интегральных уравнениях. Известия Иваново-Вознесенского политехнического ин-та, 6: 155-171.
Некрасов А. И. 1922 c. О нелинейных интегральных уравнениях с постоянными пределами. Известия Физического института при Московском научном институте и Института биологической физики при Народном комиссариате здравоохранения, 2: 221-238.
Некрасов А. И. 1928. О волнах установившегося вида на поверхности тяжёлой жидкости (конечной глубины). Труды Всероссийского математического съезда 1927 г. в Москве. М.-Л., 258-262.
Некрасов А. И. 1947. Обзор работ автора по аэрогидромеханике. Известия Академии наук CCCP. Отделение технических наук, 10: 1265-1270.
Некрасов А. И. 1951. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М. : Изд-во Академии наук СССР, 96.
Некрасов А. И. 1961. Собрание сочинений, Т. 1. Отв. ред. Я.И. Секерж-Зенькович. М.: Изд-во Академии наук СССР, 444.
Немыцкий В. В., Степанов В. В. 1947. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 448.
Моисеев Н. Н. 1957. О течении тяжелой жидкости над волнистым дном. Прикладная математика и механика, 21(1): 15-20.
Покорный В. В. 1958. О сходимости формальных решений нелинейных интегральных уравнений. Доклады Академии наук СССР, 120(4): 711–714.
Покорный В.В. 1956. Об аналитичности решений некоторых нелинейных уравнений. Труды семинара по функциональному анализу, 2: 39-45.
Покорный В. В. 1960. О двух аналитических методах в теории малых решений нелинейных интегральных уравнений. Доклады Академии наук СССР, 133(5) : 1027–1030.
Седов Л. И. 1939. Приложение теории функций комплексного переменного к некоторым задачам плоской гидродинамики. Успехи математических наук, 6: 120–182.
Cекерж-Зенькович Я. И. 1960. Александр Иванович Некрасов (к 75-летию со дня рождения). Успехи математических наук, 15(1): 153-162 .
Смирнов Н. С. 1936. Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений. Л.-М., Объединённое научно-техническое издательство, 124.
Bogatov E. M. 2020. On the history of variational methods of non-linear equations investigations and the contribution of Soviet scientists (1920s-1950s). Antiquitates Mathematicae, 14: 1-36.
Gerber R. 1955. Sur les solutions exactes des ́equations du mouvement avec surface libre d’un liquid pesant: theses. Universit ́e Joseph-Fourier-Grenoble I, 128.
Hammerstein A. 1930. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen. Acta Mathematica, 54: 117–176.
Hyers D. H. 1964. Some nonlinear integral equations of hydrodynamics. Nonlinear Integral Equations. (P. M. Anselone, ed.), Madison, University of Wisconsin Press, 319-344.
Jolas P. 1962. Contribution`a l’ ́etude des oscillations p ́eriodiques des liquides pesants avec surface libre. Grenoble, La Houille Blanche, 5: 635-655
Kuznetsov N. 2021. A tale of two Nekrasov’s integral equations. Water Waves, 1-29.
Leray J. 1935 a. Les probl`emes de repr ́esentation conforme d’Helmholtz; th ́eories des sillages et des proues I. Commentarii Mathematici Helvetici, 8 (1): 149-180.
Leray J. 1935 b. Les probl`emes de repr ́esentation conforme d’Helmholtz; th ́eories des sillages et des proues II. Commentarii Mathematici Helvetici, 8 (1): 250-263.
Leray J., Schauder J. 1934 Topologie et ́equationss fonctionnelles. Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Sup ́erieure, 61 : 45-73.
Levi-Civita T. 1907. Sulla resistenza d’attrito. Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 23 : 1-37.
Levi-Civita T. 1922. Questions de mec`anica cl`assica i relativista: confer`encies donades el gener de 1921. Barcelona, Institut d’estudis catalans, 151.
Levi-Civita T. 1925. D ́etermination rigoureuse des ondes permanentes d’ampleur finie. Mathematische
Annalen, 93 (1): 264-314.
Liapunoff A. M. 1903. Recherches dans la th ́eorie de lafigures des corps c ́elestes. M ́emoires de l’Acad ́emieimp ́eriale des sciences de St. P ́etersbourg. 8-me S ́erie, 14 (7) : 1-37.
Liapounoff A. 1905. Sur un probl ́eme de Tchebycheff. M ́emoires de l’Acad ́emie imp ́eriale des sciences de St. P ́etersbourg. 8-me S ́erie, 17 (3) : 1-31.
Lichtenstein L. 1931. Vorlesungen uber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integro-Differentialgleichungen nebst Anwendungen. Berlin, Julius Springer, 164.
Mawhin J. 2006. Le th ́eor`eme du point fixe de Brouwer: Un si`ecle de m ́etamorphoses. Sciences et Techniques en Perspective, Blanchard, 10 (1-2): 175–220.
Schmidt E. 1907. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. II. Teil. Auflosung der allgemeinen linearen Integralgleichung. Mathematische Annalen, 64:161-174.
Schmidt E. 1908. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III. Teil. Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer Losungen. Mathematische Annalen, 65(3): 370-399.
Stoker J. J. 1957. Water Waves. The Mathematical Theory with Applications. New York, Interscience Publ. Inc., 609.
Tazzioli R. 2017. D’Alembert’s paradox, 1900–1914: Levi-Civita and his Italian and French followers. Comptes Rendus M ́ecanique, 345 (7): 488-497.
Villat H. 1911. Sur la r ́esistance des fluides. Annales scientifiques l’Ecole Normale Sup ́erieure, 28 : 203-311.
Abstract views: 308
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2021 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
