Об одном методе построения решений однородной задачи Шварца
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2023-55-4-305-312Ключевые слова:
функции, аналитические по Дуглису, лямбда-голоморфные функции, собственное число матрицы, базис оператора, эллипсАннотация
В статье рассмотрена однородная задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису,
или J-аналитических функций. При этом 2x2-матрица J имеет собственные числа λ,μ, лежащие выше вещественной оси.
Собственные числа могут быть как различными, так и кратными. Во втором разделе статьи приведена постановка задачи. В начале третьего раздела доказана лемма 3.1, устанавливающая одно соотношение между вещественными и голоморфными функциями. Далее построен специальный базис оператора J. Затем с помощью данного базиса и леммы 3.1 построена J-аналитическая функция φ(z) в виде квадратичного вектор-полинома некоторого специального вида. Если собственные числа λ,μ матрицы J фиксированы, то функция φ(z) зависит от элементов первого столбца матрицы J как от параметров. Эти параметры подбираются так, чтобы реальная часть функции φ(z)
имела вид (P,0), где P=P(x,y) – положительно определенная квадратичная форма. В результате функция φ(z) – (1,0)
будет искомым решением однородной задачи Шварца в эллипсе Γ : P(x,y) = 1. Далее матрица J восстанавливается по элементам первого столбца и собственным числам λ,μ. Полученный результат оформлен в виде теоремы 3.1. В конце статьи приведены шесть примеров, построенных по изложенному выше алгоритму.
Скачивания
Библиографические ссылки
Douglis A. Function theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1953;6:259–289.
Paskali D. Vecturs analytiques generelises. Pure and Applied mathematics. 1965;10:779–808.
Horvath J. A generalization of the Cauchy-Riemann equations. Contrib. Differential Equations. 1961;1:39–57.
Gilbert RP. Analytic, generalized, hyper-analytic function theory and an application to elasticity. Proceedings of the Royal Society. 1975;73:317–371.
Bojarski B. Theory of generalized analytic vector. Annales Polonici Mathematici. 1966;17(3):281–320.
Hile GN. Elliptic systems in the plane with order term and constant coefficients. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1978;3(10):949–977.
Солдатов А.П. Функции, аналитические по Дуглису. Белгород; 2016. 88 с.
Солдатов А.П. Эллиптические уравнения высокого порядка. Дифференциальные уравнения. 1989;25(1):136–142.
Soldatov AP. The Schwarz problem for Douglis analytic functions. Journal of Mathematical Sciences. 2011;2(173):221–224.
Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. Москва; 1948. 367 с.
Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. Москва; 1966. 325 c.
Ieh RZ. Hyperholomorphic functions and higher order partial differentials equations in the plane. Pacific Journal of Mathematics. 1990;142(2):379–399.
Жура Н.И. Об общих решениях систем Лерая-Дуглиса-Ниренберга с постоянным коэффициентами на плоскости. Доклады РАН. 1993;331(5):546–549.
NikolaevVG. Schwarz Problem in Ellipse for Nondiagonalizable Matrices. Journal of Mathematical Sciences. 2020;6(251):876–901.
Николаев В.Г., Солдатов А.П. О решении задачи Шварца для J -аналитических функций в областях, ограниченных контуром Ляпунова. Дифференциальные уравнения. 2015;51(7):965–969.
Васильев В.Б., Николаев В.Г. О задаче Шварца для эллиптических систем первого порядка на плоскости. Дифференциальные уравнения. 2017;53(10):1351–1361.
Просмотров аннотации: 48
Поделиться
Опубликован
Как цитировать
Выпуск
Раздел
Copyright (c) 2023 Прикладная математика & Физика
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
