Stochastic Differential Geometry of Smooth Surfaces of Positive Curvature
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2023-55-3-220-227Keywords:
Fundamental Theorem of Surface Theory, Ito’s Formula, Surface of Bounded Curvature, Symmetric IntegralsAbstract
In this note, we derive a stochastic analogue of the Peterson-Codazzi equations for two-dimensional surfaces of positive curvature of the class Ck. To study these objects, methods of stochastic analysis are used, more precisely, the Ito formula and the properties of Brownian motion generated by the surface metric. An essential difference from the results of Backelman I. Ya. [3] is an application of the Ito formula and the second Ito derivative introduced in this paper. The technique of symmetric integrals (a deterministic analogue of Stratonovich’s stochastic integrals) is also used.
Downloads
References
Александров А. Д., Залгаллер В. А. 1962. Двумерные многообразия ограниченной кривизны. Труды математического института имени В. А. Стеклова. Изд. Академии наук СССР. М.–Л.: 3–262.
Анулова С. В., Веретенников А. Ю., Крылов Н. В., Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. 1989. Стохастическон исчисление. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ. 49: 5–260.
Бакельман И. Я. 1956. Дифференциальная геометрия гладких нерегулярных поверхностей. УМН. 11(2)68: 67–124.
Боровский Ю. Е. 1988. Системы Пфаффа с коэффициентами из Ln и их геометрические приложения. Сибирский математический. журнал. 24(2): 10–16.
Ватанабе С, Икеда Н. 1986. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М., Наука, 448.
Дынкин Е. Б. 1963. Марковские процессы. М., Физматлит, 860.
Насыров Ф. С. 2006. Симметричные интегралы и стохастический анализ. Теория вероятностей и её применения. 51(3): 496–517.
Рашевский П. К. 1939. Курс дифференциальной геометрии. ГОНТИ, 360.
Решетняк Ю. Г. 1989. Двумерные многообразия ограниченной кривизны, Геометрия – 4. Итоги науки и техники. Серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ. М. 70: 7-–189.
Fukushima M., Oshima Y., Takeda M. 1994. Dirishlet Forms and Symmetric Markov Processes. Walter de Gruyter. Berlin. New York, 390.
Sasaki S. 1958. A global formulation of the foundamental theorem of the theory of surfaces in three dimensional Euclidean space. Nagoya Math J. 13: 69–82.
Abstract views: 68
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2023 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
