Methods for Solving Problems with Phase Transitions under Low-Temperature Exposure to Biological Tissues
DOI:
https://doi.org/10.52575/2687-0959-2025-57-3-235-242Abstract
Methods for solving the problem with phase transitions under low-temperature exposure to biological tissues are considered. A comparative analysis of the proposed methods is carried out. By the method of nonlinear variational parameters, the determination of the free boundary is reduced to the Cauchy problem for single-phase and two-phase Stefan problems. To solve the single-phase and two-phase Stefan problem, the method of catching the phase front in a grid node was used. The conclusions drawn can be extended to other, more complex, multidimensional and multi-front formulations of Stefan’s problem. The advantages and disadvantages of the method of catching the front in a mesh node and the method of nonlinear variational parameters are revealed. It is concluded that for one-dimensional single-front Stefan problems, the most effective of the considered methods is the method of catching the front into a grid node using an implicit scheme, which can be useful for specialists who solve problems with phase transitions.
Downloads
References
Список литературы
Онишкова А.М. Численное исследование двумерной задачи, содержащей неизвестную границу. Известия ЮФУ. Технические науки. 2012;4(1):136-142.
Пинчук Н.А., Столяр А.М. Решение начально-краевых задач с подвижной границей. Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011;4(5):2423-2424.
Бородин С.Л. Численные методы решения задачи Стефана. Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. 2015;1(3):164-175. DOI: 0.21684/2411-7978-2015-1-3-164-175
Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: ГИТТЛ; 1956. 684 с.
Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Издательство Московского университета. 2011; 456 с.
Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями. Труды Математического института имени В. А. Стеклова. 2010;268:268–283. DOI: 10.1134/S0081543810010189
Васильева А.Б., Нефёдов Н.Н., Радченко И.В. О внутреннем переходном слое в сингулярно возмущенной начальной задаче. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996;36(9):105–111.
Самарский А.А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 2-ое издание, перераб. и доп. М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит.; 1987. 288 с.
Самарский А.А. Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сетках. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963;3(3):431-466. DOI: 10.1016/0041-5553(63)90290-8
Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука; 1986. 288с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учебное пособие. М.: Наука; Гл.ред. физ.-мат. лит. 1987. 600 с.
Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во МГУ; 1987. 164 с.
Алипова К.А. Сравнение двух численных методов решения задачи Стефана. XVII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: программа, тезисы докладов, алфавитный указатель участников, Новосибирск. 30 октября – 3 ноября 2016 г. Новосибирск. 2016. C. 26.
Кудаева Ф.Х. Канонический вид задач со свободными границами в проблемах медицины. Южно-Сибирский научный вестник. 2023;5(51):142-147. DOI: 10.25699/SSSB.2023.51.5.019
Митропольский Ю.А., Березовский А.А., Плотницкий Т.А. Задачи со свободными границами для нелинейного эволюционного уравнения в проблемах металлургии, медицины, экологии. Украинский математический журнал. 1992;44(1):67-76.
References
Onishkova AM. Numerical investigation of a two-dimensional problem containing an unknown boundary. Izvestiya YUFU. Tekhnicheskiye nauki. 2012;4(1):136-142.
Pinchuk NA., Stolyar AM. Solving initial boundary value problems with a movable boundary. Fundamental problems of theoretical and applied mechanics. Bulletin of the Nizhny Novgorod Lobachevsky University. 2011; 4(5):2423-2424.
Borodin SL. Numerical methods for solving the Stefan problem. Bulletin of the Tyumen State University. Physical and mathematical modeling. Oil, gas, and energy. 2015;1(3):164-175. DOI: 10.21684/2411-7978-2015-1-3-164-175
Budak BM., Samarskiy AA., Tikhonov AN. Collection of problems in mathematical physics. Moscow: GITTL; 1956. 684 p.
Lomov SA., Lomov IS. Fundamentals of the mathematical theory of the boundary layer. Moscow: Moscow University Press. 2011; 456 p.
Vasilyeva AB., Butuzov VF., Nefedov NN. Singularly perturbed problems with boundary and inner layers. Proceedings of the Steklov Mathematical Institute. 2010;268:258–273. DOI: 10.1134/S0081543810010189
Vasilyeva AB., Nefedov NN., Radchenko IV. On the inner transition layer in a singularly perturbed initial problem. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1996;36(9):1251–1256.
Samarskiy AA. Introduction to numerical methods. Textbook for universities. 2nd edition, revised. and dop. Moscow: Nauka. Gl.ed. fiz.-mat. lit.; 1987. 288 p.
Samarskiy AA. Locally one-dimensional difference schemes on uneven grids. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1963;3(3):431-466. DOI: 10.1016/0041-5553(63)90290-8
Ortega J., Poole W. Introduction to numerical methods for solving differential equations. Moscow: Nauka; 1986. 288 p.
Bakhvalov NS., Zhidkov NP., Kobelkov G.M. Numerical methods: a textbook. Moscow: Nauka. Gl.ed. fiz.-mat. lit.; 1987. 600 p.
Vabishevich PN. Numerical methods for solving problems with a free boundary. Moscow: Publishing House of Moscow State University; 1987. 164 p.
Alipova KA. Comparison of two numerical methods for solving Stefan’s problem. XVII All-Russian Conference of Young Scientists on Mathematical Modeling and Information Technologies: program, abstracts, alphabetical index of participants, Novosibirsk, October 30 - November 3, 2016 Novosibirsk. 2016. p. 26.
Kudayeva FKh. Canonical type of tasks with free boundaries in medical problems. South Siberian Scientific Bulletin. 2023;5(51):142-147. DOI: 10.25699/SSSB.2023.51.5.019
Mitropolsky YuA., Berezovsky AA., Plotnitsky TA. Problems with free boundaries for a nonlinear evolutionary equation in metallurgy, medicine, and ecology. Ukrainian Mathematical Journal. 1992; 44(1):67-76.
Abstract views: 5
##submission.share##
Published
How to Cite
Issue
Section
Copyright (c) 2025 Applied Mathematics & Physics
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
