Об уравнениях Коши – Эйлера целого и дробного порядков

Ахмат Ассад Махамуд; Элина Леонидовна Шишкина

doi:10.52575/2687-0959-2025-57-3-172-185

Авторы

Ахмат Ассад Махамуд Белгородский государственный национальный исследовательский университет
Элина Леонидовна Шишкина Воронежский государственный университет; Чеченский государственный университет им. А. А. Кадырова

DOI:

https://doi.org/10.52575/2687-0959-2025-57-3-172-185

Ключевые слова:

уравнение Коши – Эйлера, дифференциальный оператор Коши – Эйлера, числа Стирлинга второго рода, функции Стирлинга второго рода, дробные производные Адамара, преобразование Меллина

Аннотация

В настоящей работе исследуются уравнения Коши – Эйлера целого и дробного порядков. Анализируется и используется тот факт, что операторы, входящие в такие уравнения, тесно связаны с числами Стирлинга второго рода и их обобщениями дробного порядка. Предложена конечно-разностная интерпретация оператора (x d/dx)ⁿ. Рассмотрено применение преобразования Меллина для решения неоднородных уравнений Коши – Эйлера целого и дробного порядков.

Благодарности
Работа второго автора выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ (проект FEGS-2023-0003).

Скачивания

Данные скачивания пока недоступны.

Биографии авторов

Ахмат Ассад Махамуд, Белгородский государственный национальный исследовательский университет

аспирант, Белгородский государственный национальный исследовательский университет,
г. Белгород, Россия
E-mail: 1269765@bsuedu.ru
ORCID: 0009-0007-4930-934X

Элина Леонидовна Шишкина, Воронежский государственный университет; Чеченский государственный университет им. А. А. Кадырова

доктор физико-математических наук, доцент, профессор, Воронежский государственный университет,
г. Воронеж, Россия;
научный сотрудник, Чеченский государственный университет им. А. А. Кадырова,
г. Грозный, Россия
E-mail: ilina_dico@mail.ru
ORCID: 0000-0003-4083-1207

Библиографические ссылки

Список литературы

Ross C.C. Differential Equations. An Introduction with Mathematica. 2th ed. New York: Springer; 2004. 431 p.

Boyce W.E., DiPrima R.C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem. 8th ed. New York: Wiley; 2005. 790 p.

Sadykov T. Graceful bases in solution spaces of differential and difference equations. Journal of Symbolic Computation. 2025;127:1–13. DOI: 10.1016/j.jsc.2024.10235

Takahasi S.E., Oka H., Miura T., Takagi H. A Cauchy-Euler Type Factorization of Operators. Tokyo Journal of Mathematics. 2008;31(2):489–493.

Berman G., Fryer K.D. Introduction to Combinatorics. New York: Academic Press; 2014. 314 p.

Деза Е.И. Специальные комбинаторные числа: От чисел Стирлинга до чисел Моцкина: всё о двенадцати известных числовых множествах комбинаторной природы (история, классические свойства, примеры и задачи). М.: Ленанд; 2018. 504 с.

Butzer P.L., Hauss M., Schmidt M. Factorial functions and Stirling numbers of fractional orders. Results. Math. 1989;16:16–48. DOI: 10.1007/BF03322642

Butzer P.L., Kilbas A.A., Trujillo J.J. Stirling functions of the second kind in the setting of difference and fractional calculus. Numer. Funct. Anal. Optim. 2003;24(7–8):673–711. DOI: 10.1081/nfa-120026366

Schwatt I.J. An Introduction to the Operations with Series. New York: Chelsea Publishing Co; 1962. 328 p.

Knopf P.M. The operator (x d/dx)n and its applications to series. Math. Mag. 2003;76(5):364–371. DOI: 10.1080/0025570X.2003.11953210

Gonz´alez G.J.R., Plaza Galvez L.F. Soluci´on de la ecuaci´on de Cauchy-Euler por medio de la transformada de Mellin. Scientia Et Technica. 2009;2(42):300–303. DOI: 10.22517/23447214.2651

Brychkov Y., Marichev O., Savischenko N. Handbook of Mellin Transforms. New York: Chapman and Hall/CRC; 2018. 609 p.

Balakrishnan A.V. An operational calculus for infinitesimal generators of semigroups. Trans. Amer. Math. Soc. 1959;91:330–353. DOI: 10.2307/1993125

Westphal U. Ein Kalk¨ul f¨ur gebrochene Potenzen infinitesimaler Erzeuger von Halbgruppen und Gruppen von Operatoren, Teil I: Halbgruppenerzeuger, Teil II : Gruppenerzeuger’. Gompositio Math. 1970;22:67–103, 104–136.

Yosida K. Functional Analysis, 6 th ed. Berlin: Springer-Verlag; 1980. 504 p.

Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка. Минск: Наука и техника; 1987. 688 с.

Ahmad B., Alsaedi A., Ntouyas S.K., Tariboon J. Hadamard-Type Fractional Differential Equations, Inclusions and Inequalities. New York: Springer; 2017. 427 p.

Garra R., Orsingher E., Polito F. A Note on Hadamard Fractional Differential Equations with Varying Coefficients and Their Applications in Probability. Mathematics. 2018;6(1):1–10. DOI: 10.3390/math6010004

Butzer P.L., Kilbas A.A., Trujillo J.J. Fractional calculus in the Mellin setting and Hadamard-type fractional integrals. J. Math. Anal. Appl. 2002;269(1):1–27. DOI: 10.1016/S0022-247X(02)00001-X

Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Switzerland: Elsevier Science; 2006. 540 p.

References

Ross CC. Differential Equations. An Introduction with Mathematica. 2th ed. New York: Springer; 2004. 431 p.

Boyce WE, DiPrima RC. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem. 8th ed. New York: Wiley; 2005. 790 p.

Sadykov T. Graceful bases in solution spaces of differential and difference equations. Journal of Symbolic Computation. 2025;127:1–13. DOI: 10.1016/j.jsc.2024.10235

Takahasi SE, Oka H, Miura T, Takagi H. A Cauchy-Euler Type Factorization of Operators. Tokyo Journal of Mathematics. 2008;31(2):489–493.

Berman G, Fryer KD. Introduction to Combinatorics. New York: Academic Press; 2014. 314 p.

Deza EI. Special combinatorial numbers: From Stirling numbers to Motzkin numbers: everything about the twelve well-known sets of numbers of combinatorial nature (history, classical properties, examples, and problems). Moscow: Lenand; 2018. 504 p. (In Russ.)

Butzer PL, Hauss M, Schmidt M. Factorial functions and Stirling numbers of fractional orders. Results. Math. 1989;16:16–48. DOI: 10.1007/BF03322642

Butzer PL, Kilbas AA, Trujillo JJ. Stirling functions of the second kind in the setting of difference and fractional calculus. Numer. Funct. Anal. Optim. 2003;24(7–8):673–711. DOI: 10.1081/nfa-120026366

Schwatt IJ. An Introduction to the Operations with Series. New York: Chelsea Publishing Co; 1962. 328 p.

Knopf PM. The operator (x d/dx)n and its applications to series. Math. Mag. 2003;76(5):364–371. DOI: 10.1080/0025570X.2003.11953210

Gonz´alez GJR, Plaza Galvez LF. Soluci´on de la ecuaci´on de Cauchy-Euler por medio de la transformada de Mellin. Scientia Et Technica. 2009;2(42):300–303. DOI: 10.22517/23447214.2651

Brychkov Y, Marichev O, Savischenko N. Handbook of Mellin Transforms. New York: Chapman and Hall/CRC; 2018. 609 p.

Balakrishnan AV. An operational calculus for infinitesimal generators of semigroups. Trans. Amer. Math. Soc. 1959;91:330–353. DOI: 10.2307/1993125

Westphal U. Ein Kalk¨ul f¨ur gebrochene Potenzen infinitesimaler Erzeuger von Halbgruppen und Gruppen von Operatoren, Teil I: Halbgruppenerzeuger, Teil II : Gruppenerzeuger’. Gompositio Math. 1970;22:67–103, 104–136.

Yosida K. Functional Analysis, 6 th ed. Berlin: Springer-Verlag; 1980. 504 p.

Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. Yverdon: Gordon and Breach; 1993. 1016 p.

Ahmad B, Alsaedi A, Ntouyas SK, Tariboon J. Hadamard-Type Fractional Differential Equations, Inclusions and Inequalities. New York: Springer; 2017. 427 p.

Garra R, Orsingher E, Polito F. A Note on Hadamard Fractional Differential Equations with Varying Coefficients and Their Applications in Probability. Mathematics. 2018;6(1):1–10. DOI: 10.3390/math6010004

Butzer PL, Kilbas AA, Trujillo JJ. Fractional calculus in the Mellin setting and Hadamard-type fractional integrals. J. Math. Anal. Appl. 2002;269(1):1–27. DOI: 10.1016/S0022-247X(02)00001-X

Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Switzerland: Elsevier Science; 2006. 540 p.