Один класс квазилинейных уравнений с производными Хилфера

Аннотация

Исследованы вопросы разрешимости задачи типа Коши для линейных и квазилинейных уравнений с дробными производными Хилфера, разрешенные относительно производной старшего порядка. Линейный оператор при неизвестной функции в уравнении предполагается ограниченным. Доказана однозначная разрешимость задачи типа Коши для линейного неоднородного уравнения. С помощью полученной при этом формулы решения задача типа Коши для квазилинейного дифференциального уравнения редуцирована к интегро-дифференциальному уравнению вида y = G(y). При условии локальной липшицевости нелинейного оператора в уравнении доказана сжимаемость оператора G в выбранном подходящим образом метрическом пространстве функций на достаточно малом отрезке. Тем самым доказана теорема о существовании единственного локального решения задачи типа Коши для квазилинейного уравнения. Результат об однозначной глобальной разрешимости этой задачи получен путем доказательства сжимаемости достаточно большой степени оператора G в специальном пространстве функций на изначально заданном отрезке при выполнении условия Липшица на нелинейный оператор в уравнении. Общие результаты использованы для исследования задач типа Коши для квазилинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и для квазилинейной системы интегро-дифференциальных уравнений.

Благодарности
Работа выполнена при финансировании за счет средств гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ НШ-2708.2022.1.1.