Задача типа Коши для некоторых квазилинейных уравнений с производными Римана – Лиувилля и секториальным оператором

Аннотация

Исследованы вопросы разрешимости задачи типа Коши для квазилинейных уравнений, разрешенных относительно старшей дробной производной Римана – Лиувилля, оператор в линейной части при неизвестной функции в уравнении предполагается секториальным. При этом нелинейный оператор зависит от дробных производных младшего порядка с произвольной дробной частью. Получены теоремы о локальном и глобальном существовании единственного решения при условии локальной липшицевости и липшицевости нелинейного оператора соответственно в случае его непрерывности в норме графика секториального оператора. Задача типа Коши для квазилинейного уравнения сводится к интегро-дифференциальному уравнению в специально подобранном функциональном пространстве. Для доказательства существования единственного решения используется теорема Банаха о неподвижной точке сжимающего отображения в полном метрическом пространстве. Полученный абстрактный результат использован при исследовании вопросов существования и единственности решения одного класса начально-краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных с многочленами от самосопряженного эллиптического оператора по пространственным переменным и с дробными производными по времени.